쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
541번 · \(|x^2+x-k-2|=1\)이 서로 다른 네 근 + 근의 곱=24 → \(k=3\) 서술형
— 절댓값 ±1로 두 이차방정식 분리 → 네 근의 곱=두 곱의 곱 → \(k=3\)!
🔥 C단계✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (절댓값 방정식 네 근 조건 + 근의 곱 서술형)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 |…|=1 → x²+x−k−2=1 (두 근 곱=−k−3) OR =−1 (두 근 곱=−k−1)
- 📐 네 근의 곱=(−k−3)(−k−1)=24 → (k+3)(k+1)=24 → k²+4k−21=0 → k=3
- 🎯 k>0이므로 k=3, 서로 다른 네 근 조건 확인
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📌 문제 핵심 파악
방정식 \(|x^2+x-k-2|=1\)이 서로 다른 네 근을 갖고,
모든 근의 곱이 24일 때 양수 \(k\)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
경우 분류 (절댓값=1)
(ⅰ) \(x^2+x-k-2=1\) → \(x^2+x-(k+3)=0\)
두 근의 곱 = \(-(k+3)\)
(ⅱ) \(x^2+x-k-2=-1\) → \(x^2+x-(k+1)=0\)
두 근의 곱 = \(-(k+1)\)
(ⅰ) \(x^2+x-k-2=1\) → \(x^2+x-(k+3)=0\)
두 근의 곱 = \(-(k+3)\)
(ⅱ) \(x^2+x-k-2=-1\) → \(x^2+x-(k+1)=0\)
두 근의 곱 = \(-(k+1)\)
2
네 근의 곱 조건
네 근의 곱 = \(\{-(k+3)\}\cdot\{-(k+1)\} = (k+3)(k+1) = 24\)
\[k^2+4k+3=24 \implies k^2+4k-21=0 \implies (k+7)(k-3)=0\] \(k>0\)이므로 \(k=3\)
네 근의 곱 = \(\{-(k+3)\}\cdot\{-(k+1)\} = (k+3)(k+1) = 24\)
\[k^2+4k+3=24 \implies k^2+4k-21=0 \implies (k+7)(k-3)=0\] \(k>0\)이므로 \(k=3\)
3
서로 다른 네 근 조건 검증 (k=3)
(ⅰ) \(x^2+x-6=0\): \(D=1+24=25>0\) → 두 실근 \(x=2, -3\) ✓
(ⅱ) \(x^2+x-4=0\): \(D=1+16=17>0\) → 두 실근 \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}\) ✓
두 방정식의 근이 공통인지 확인: 공통근이 없으므로 총 4개 ✓
(ⅰ) \(x^2+x-6=0\): \(D=1+24=25>0\) → 두 실근 \(x=2, -3\) ✓
(ⅱ) \(x^2+x-4=0\): \(D=1+16=17>0\) → 두 실근 \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}\) ✓
두 방정식의 근이 공통인지 확인: 공통근이 없으므로 총 4개 ✓
정답 : \(k=3\)
✍️ 서술형 채점 포인트
① 절댓값 방정식 두 경우 분리 (2점)
② 각 이차방정식의 두 근의 곱 (−k−3), (−k−1) 도출 (2점)
③ (k+3)(k+1)=24 방정식 수립 (1점)
④ k=3 (양수 조건 적용) (2점)
⑤ 서로 다른 네 근 확인 (2점)
② 각 이차방정식의 두 근의 곱 (−k−3), (−k−1) 도출 (2점)
③ (k+3)(k+1)=24 방정식 수립 (1점)
④ k=3 (양수 조건 적용) (2점)
⑤ 서로 다른 네 근 확인 (2점)
🧠 외워두면 좋은 패턴
절댓값 방정식 네 근의 곱 루틴
\(|f(x)|=k\) → \(f(x)=k\) (근 \(\alpha_1, \alpha_2\)) 또는 \(f(x)=-k\) (근 \(\beta_1, \beta_2\))
네 근의 곱 = (\(\alpha_1\alpha_2\)) × (\(\beta_1\beta_2\))
→ 각각 근과 계수의 관계로 상수항 비로 계산!
\(|f(x)|=k\) → \(f(x)=k\) (근 \(\alpha_1, \alpha_2\)) 또는 \(f(x)=-k\) (근 \(\beta_1, \beta_2\))
네 근의 곱 = (\(\alpha_1\alpha_2\)) × (\(\beta_1\beta_2\))
→ 각각 근과 계수의 관계로 상수항 비로 계산!
⚠️ 이런 실수 조심!
- 네 근의 곱을 구할 때 두 이차방정식의 근의 곱끼리 곱해야 함
- 서로 다른 네 근 조건: 각 방정식이 두 실근(D>0)이고 공통근이 없어야 함
- k=3일 때 (ⅰ)의 근 2, −3과 (ⅱ)의 근 (−1±√17)/2가 모두 다름 확인 필수!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
8분
수능·모의고사
6분
🖼️ 교재 해설 이미지
