쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
536번 · 세 이차방정식의 공통실근 → 방정식 더하기 트릭 → 보기 판별
— 세 방정식을 변끼리 더하면 \((a-2b+c)(\alpha^2+\alpha+1)=0\) → \(a-2b+c=0\)!
🔥 C단계
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- 📹 풀이 영상 (세 방정식 더하기 + 보기 판별)
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- 🔑 세 방정식을 더하기 → (a−2b+c)(α²+α+1)=0, α²+α+1>0 → a−2b+c=0 (ㄱ○)
- 📐 ㄴ: 2b=a+c → ax²−(a+c)x+c=(ax−c)(x−1)=0, x=c/a(0
- 🎯 ㄷ: 중근 존재 단정 불가 (×) → 정답 ㄱ, ㄴ
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
\(0<c<b<a\)인 세 실수에 대하여 세 이차방정식이 공통인 실근 \(\alpha\)를 갖습니다.
옳은 보기를 모두 고르는 문제입니다.
🗝️ 세 방정식 (공통근 α 대입)
① \(a\alpha^2-2b\alpha+c=0\)
② \(-2b\alpha^2+c\alpha+a=0\)
③ \(c\alpha^2+a\alpha-2b=0\)
① \(a\alpha^2-2b\alpha+c=0\)
② \(-2b\alpha^2+c\alpha+a=0\)
③ \(c\alpha^2+a\alpha-2b=0\)
✏️ 단계별 풀이
1
세 방정식을 변끼리 더하기 (핵심 아이디어!)
\[(a-2b+c)\alpha^2+(c+a-2b)\alpha+(a-2b+c)=0\] \[(a-2b+c)(\alpha^2+\alpha+1)=0\]
\(\alpha^2+\alpha+1=(\alpha+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0\)이므로
\[\boxed{a-2b+c=0}\quad \Rightarrow \text{ㄱ 참 (○)}\]
\[(a-2b+c)\alpha^2+(c+a-2b)\alpha+(a-2b+c)=0\] \[(a-2b+c)(\alpha^2+\alpha+1)=0\]
\(\alpha^2+\alpha+1=(\alpha+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0\)이므로
\[\boxed{a-2b+c=0}\quad \Rightarrow \text{ㄱ 참 (○)}\]
2
ㄴ 판별: 공통근 α의 범위
\(2b=a+c\)이므로 방정식 ①:
\[a\alpha^2-(a+c)\alpha+c=0 \implies (a\alpha-c)(\alpha-1)=0\] \[\alpha=\frac{c}{a}\text{ 또는 }\alpha=1\]
\(0<c<a\)이므로 \(0<\dfrac{c}{a}<1\)
→ 공통근 \(\alpha\in(0,1)\): ㄴ 참 (○)
\(2b=a+c\)이므로 방정식 ①:
\[a\alpha^2-(a+c)\alpha+c=0 \implies (a\alpha-c)(\alpha-1)=0\] \[\alpha=\frac{c}{a}\text{ 또는 }\alpha=1\]
\(0<c<a\)이므로 \(0<\dfrac{c}{a}<1\)
→ 공통근 \(\alpha\in(0,1)\): ㄴ 참 (○)
3
ㄷ 판별: 중근 존재 여부
①의 \(D_1/4=b^2-ac\): \(b=\dfrac{a+c}{2}\)에서 \(D_1/4=\dfrac{(a+c)^2}{4}-ac=\dfrac{(a-c)^2}{4}>0\)
→ 서로 다른 두 실근! (중근 아님)
중근을 갖는 이차방정식이 반드시 존재한다고 단정 불가: ㄷ 거짓 (×)
①의 \(D_1/4=b^2-ac\): \(b=\dfrac{a+c}{2}\)에서 \(D_1/4=\dfrac{(a+c)^2}{4}-ac=\dfrac{(a-c)^2}{4}>0\)
→ 서로 다른 두 실근! (중근 아님)
중근을 갖는 이차방정식이 반드시 존재한다고 단정 불가: ㄷ 거짓 (×)
정답 : ③ ㄱ, ㄴ
🧠 외워두면 좋은 패턴
공통근을 가진 여러 방정식 처리 루틴
① 공통근 α를 각 방정식에 대입
② 변끼리 더하거나 빼기 → 공통인수 도출
③ \(\alpha^2+\alpha+1>0\) 등 항상 양수인 인수를 소거
① 공통근 α를 각 방정식에 대입
② 변끼리 더하거나 빼기 → 공통인수 도출
③ \(\alpha^2+\alpha+1>0\) 등 항상 양수인 인수를 소거
⚠️ 이런 실수 조심!
- 세 방정식을 그냥 연립하려는 실수 — 더하기 트릭이 핵심!
- \(\alpha^2+\alpha+1>0\)임을 반드시 확인 (D/4=1/4−1=−3/4<0으로 실근 없음)
- ㄴ에서 α=1도 공통근 후보 — α=1 대입 시 방정식 ①: a−(a+c)+c=0 ✓ 성립!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
8분
수능·모의고사
6분
🖼️ 교재 해설 이미지
