쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
534번 · 중근 조건 + 자연수 \(a, b\) → \((a-5)^2=25-2b\)에서 \(a+b\) 최댓값
— 완전제곱수 조건과 자연수 범위 탐색으로 최댓값 결정!
🔥 C단계 고난도
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (판별식 + 자연수 최댓값 탐색)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 D/4=a²−(10a−2b)=0 → (a−5)²=25−2b
- 📐 b≤12 (자연수, 25−2b≥0), 25−2b는 완전제곱수
- 🎯 b=12: (a−5)²=1 → a=4 or 6 → a+b=16 or 18 → 최댓값 18
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-2ax+10a-2b=0\)이 중근을 갖도록 하는 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여
\(a+b\)의 최댓값을 구하는 고난도 문제입니다.
🔑 중근 조건 적용
\(D/4 = a^2-(10a-2b)=0 \implies a^2-10a+2b=0\)
\[(a-5)^2-25+2b=0 \implies (a-5)^2=25-2b\]
\(D/4 = a^2-(10a-2b)=0 \implies a^2-10a+2b=0\)
\[(a-5)^2-25+2b=0 \implies (a-5)^2=25-2b\]
✏️ 단계별 풀이
1
조건 도출
\[(a-5)^2=25-2b\]
① \(b\)는 자연수(\(b\geq1\))이고 \(25-2b\geq0\)이어야 하므로 \(b\leq12\)
② \((a-5)^2\)은 0 이상의 완전제곱수
③ \(a\)는 자연수(\(a\geq1\))
\[(a-5)^2=25-2b\]
① \(b\)는 자연수(\(b\geq1\))이고 \(25-2b\geq0\)이어야 하므로 \(b\leq12\)
② \((a-5)^2\)은 0 이상의 완전제곱수
③ \(a\)는 자연수(\(a\geq1\))
2
완전제곱수 탐색 (b 값별)
* b=3 → 19 (✗), b=8 → 9=3² (✓), b=12 → 1=1² (✓) 등 완전제곱수만 탐색
| b | 25−2b | 완전제곱수? | a-5 | a (자연수) | a+b |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 23 | ❌ | — | — | — |
| 2 | 21 | ❌ | — | — | — |
| 8 | 9=3² | ✅ | ±3 | 2 또는 8 | 10 또는 16 |
| 12 | 1=1² | ✅ | ±1 | 4 또는 6 | 16 또는18 |
| 12.5 | 0 | (b는 정수) | — | — | — |
3
a+b 최댓값 결정
b=12, a=6일 때 \(a+b=18\)이 최대
b=12, a=6일 때 \(a+b=18\)이 최대
정답 : \(a+b\)의 최댓값 = 18
🧠 외워두면 좋은 패턴
완전제곱수 + 자연수 조건 탐색 루틴
① 중근 조건 → \((a-k)^2=\text{정수식}\) 형태로 변환
② 우변의 범위 확인 (≥0)
③ 우변이 완전제곱수(0, 1, 4, 9, 16, …)가 되는 경우 탐색
④ 각 경우에서 자연수 조건 (a≥1) 확인
⑤ a+b 최댓값은 보통 b가 최대이면서 a도 큰 경우
① 중근 조건 → \((a-k)^2=\text{정수식}\) 형태로 변환
② 우변의 범위 확인 (≥0)
③ 우변이 완전제곱수(0, 1, 4, 9, 16, …)가 되는 경우 탐색
④ 각 경우에서 자연수 조건 (a≥1) 확인
⑤ a+b 최댓값은 보통 b가 최대이면서 a도 큰 경우
⚠️ 이런 실수 조심!
- b가 최댓값(12)일 때만 확인하지 않는 실수 — b=8일 때도 확인해야 하며, b=12, a=6이 최대임을 확인!
- 25−2b=0 (b=12.5)은 b가 자연수가 아니므로 제외
- a-5=±3에서 a=2 또는 a=8 두 값 모두 확인
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
6분
수능·모의고사
5분
🖼️ 교재 해설 이미지
