쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
532번 · \(x^2+x+1=0\)의 근 \(z\) — \(z^{5n}\)이 양의 실수가 되는 자연수 \(n\)의 개수
— \(z+1=-z^2\)으로 변환 → \(z^{5n}\)으로 통합 → \(z^3=1\) 주기성 활용!
🔥 C단계 고난도
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (z³=1 주기성 + 양의 실수 조건)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 z²+z+1=0 → z+1=−z² → zⁿ(1+z)²ⁿ=zⁿ·(−z²)²ⁿ=z⁵ⁿ
- 📐 z³=1 → z⁵ⁿ이 양의 실수 ↔ 5n이 3의 배수 ↔ n이 3의 배수
- 🎯 n≤50에서 3의 배수: 3,6,…,48 → 16개
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+x+1=0\)의 한 근을 \(z\)라 할 때,
\(z^n(1+z)^{2n}\)의 값이 양의 실수가 되도록 하는 50 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 성질 — x²+x+1=0의 근의 특수 성질
\(z^2+z+1=0\)에서:
\[z+1=-z^2 \quad \text{(이 변환이 핵심!)}\] \[z^3=1 \quad \text{(양변에 }z-1\text{을 곱하면: }(z-1)(z^2+z+1)=z^3-1=0)\]
\(z^2+z+1=0\)에서:
\[z+1=-z^2 \quad \text{(이 변환이 핵심!)}\] \[z^3=1 \quad \text{(양변에 }z-1\text{을 곱하면: }(z-1)(z^2+z+1)=z^3-1=0)\]
✏️ 단계별 풀이
1
식 변환 — z+1=−z² 대입
\[z^n(1+z)^{2n} = z^n\cdot(z+1)^{2n} = z^n\cdot(-z^2)^{2n}\] \[= z^n\cdot(-1)^{2n}\cdot z^{4n} = z^n\cdot1\cdot z^{4n} = z^{5n}\] (∵ \((-1)^{2n}=1\) 항상 성립)
\[z^n(1+z)^{2n} = z^n\cdot(z+1)^{2n} = z^n\cdot(-z^2)^{2n}\] \[= z^n\cdot(-1)^{2n}\cdot z^{4n} = z^n\cdot1\cdot z^{4n} = z^{5n}\] (∵ \((-1)^{2n}=1\) 항상 성립)
2
z³=1 이용 — z⁵ⁿ 분석
\(z^3=1\)이므로 \(z^{5n}=z^{5n\mod3}\)
\(z^{5n}\)이 양의 실수가 되려면 \(5n\)이 3의 배수이어야 합니다.
(\(z^0=z^3=z^6=\cdots=1\) 만이 양의 실수, 나머지는 허수)
\(z^3=1\)이므로 \(z^{5n}=z^{5n\mod3}\)
\(z^{5n}\)이 양의 실수가 되려면 \(5n\)이 3의 배수이어야 합니다.
(\(z^0=z^3=z^6=\cdots=1\) 만이 양의 실수, 나머지는 허수)
3
조건: 5n이 3의 배수
\(\gcd(5,3)=1\)이므로 5n이 3의 배수 ↔ n이 3의 배수
n≤50에서 3의 배수: \(3, 6, 9, \ldots, 48\)
개수: \(48\div3=16\)개
\(\gcd(5,3)=1\)이므로 5n이 3의 배수 ↔ n이 3의 배수
n≤50에서 3의 배수: \(3, 6, 9, \ldots, 48\)
개수: \(48\div3=16\)개
정답 : 16개
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(x^2+x+1=0\)의 근 z의 핵심 성질 총정리
→ z의 거듭제곱은 주기 3! \(z^1, z^2, z^0(=1)\)이 반복
| 성질 | 이유 |
|---|---|
| \(z^2+z+1=0\) | z가 방정식의 근이므로 |
| \(z+1=-z^2\) | 이항 정리 |
| \(z^3=1\) | \((z-1)(z^2+z+1)=z^3-1=0\), \(z\neq1\) |
| \(1+z+z^2=0\) | z²+z+1=0과 동일 |
⚠️ 이런 실수 조심!
- \((-z^2)^{2n}=(-1)^{2n}\cdot z^{4n}=z^{4n}\) — \((-1)^{2n}\)이 항상 1임을 확인!
- z⁵ⁿ이 양의 실수 ↔ 5n≡0 (mod 3) ↔ n≡0 (mod 3) — gcd(5,3)=1이어야 성립
- z¹이나 z²는 허수임 — z⁰=z³=z⁶=1만 양의 실수!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
6분
수능·모의고사
5분
🖼️ 교재 해설 이미지
