쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
529번 · 나머지 정리 + 켤레근 조건 연립 → \(m+n\)
— \(f(2)=9\)와 켤레근 \(a\pm3i\)로 연립해 \(a=2\) 결정!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (나머지 정리 + 켤레근 연립)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 조건 (가): f(2)=4+2m+n=9 → 2m+n=5
- 📐 조건 (나): a+3i가 근 → m=−2a, n=a²+9 → 대입: (a−2)²=0 → a=2
- ⚠️ 두 조건을 따로 처리 후 연립하는 과정이 핵심!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
다항식 \(f(x)=x^2+mx+n\)이 다음 두 조건을 만족할 때, \(m+n\)을 구하는 문제입니다.
🗝️ 두 가지 조건
(가) \(f(x)\)를 \(x-2\)로 나누었을 때의 나머지는 9
\(\quad\rightarrow f(2)=9\) (나머지 정리)
(나) 이차방정식 \(f(x)=0\)의 한 근이 \(a+3i\) (\(a\)는 실수)
\(\quad\rightarrow a-3i\)도 근 (켤레근 성질, 실수 계수)
(가) \(f(x)\)를 \(x-2\)로 나누었을 때의 나머지는 9
\(\quad\rightarrow f(2)=9\) (나머지 정리)
(나) 이차방정식 \(f(x)=0\)의 한 근이 \(a+3i\) (\(a\)는 실수)
\(\quad\rightarrow a-3i\)도 근 (켤레근 성질, 실수 계수)
✏️ 단계별 풀이
1
조건 (가) 적용 — 나머지 정리
\[f(2)=4+2m+n=9 \implies 2m+n=5 \quad\cdots①\]
\[f(2)=4+2m+n=9 \implies 2m+n=5 \quad\cdots①\]
2
조건 (나) 적용 — 켤레근으로 m, n 표현
\(a+3i\)와 \(a-3i\)가 두 근이므로:
두 근의 합 = \(2a = -m \implies m=-2a\)
두 근의 곱 = \(a^2+9 = n \implies n=a^2+9\)
\(a+3i\)와 \(a-3i\)가 두 근이므로:
두 근의 합 = \(2a = -m \implies m=-2a\)
두 근의 곱 = \(a^2+9 = n \implies n=a^2+9\)
3
두 조건 연립하여 a 결정
①에 대입: \(2(-2a)+(a^2+9)=5\)
\[a^2-4a+4=0 \implies (a-2)^2=0 \implies a=2\]
①에 대입: \(2(-2a)+(a^2+9)=5\)
\[a^2-4a+4=0 \implies (a-2)^2=0 \implies a=2\]
4
m, n 결정 및 최종 계산
\(a=2\)에서 \(m=-4\), \(n=4+9=13\)
\[m+n=-4+13=9\]
\(a=2\)에서 \(m=-4\), \(n=4+9=13\)
\[m+n=-4+13=9\]
정답 : ⑤ \(m+n=9\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
나머지 정리 + 켤레근 연립 루틴
① 나머지 정리: \(f(k)\)=나머지 → \(m\), \(n\) 관계식 ①
② 켤레근으로: \(m = -2a\), \(n = a^2+q^2\) 표현
③ ①에 대입 → \(a\) 결정 → \(m\), \(n\) 결정
④ \(m+n\) 계산
① 나머지 정리: \(f(k)\)=나머지 → \(m\), \(n\) 관계식 ①
② 켤레근으로: \(m = -2a\), \(n = a^2+q^2\) 표현
③ ①에 대입 → \(a\) 결정 → \(m\), \(n\) 결정
④ \(m+n\) 계산
⚠️ 이런 실수 조심!
- 나머지 정리: f(x)를 x−2로 나누면 나머지=f(2)=9 (직접 대입!)
- 켤레근의 곱: (a+3i)(a−3i)=a²+9 (i²=−1 처리)
- (a−2)²=0에서 a=2가 유일한 실수 해 → 이 조건으로 a 확정
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
