쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
525번 · 분수 형태 허근 유리화 → 켤레근 → \(a+b\) 계산
— \(\frac{b+i}{1-i}\) 유리화 → 실수+허수 분리 → 켤레근 적용!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (복소수 유리화 + 켤레근 적용)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 (b+i)/(1−i)를 켤레 (1+i)/（1+i)로 유리화 → {(b−1)+(b+1)i}/2
- 📐 실수부 (b−1)/2=2 → b=5, 허수부 (b+1)/2=3 → 두 근 2±3i → a=13
- ⚠️ 유리화 과정 분자 전개 실수 주의!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-4x+a=0\)의 한 근이 \(\dfrac{b+i}{1-i}\)일 때 (단 \(b\neq-1\)),
실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a+b\)를 구하는 문제입니다.
💡 전략 — 먼저 허근을 a+bi 표준형으로 정리하자!
분모가 복소수이면 유리화(분모의 켤레복소수를 곱하기)로 표준형 변환 필수
분모가 복소수이면 유리화(분모의 켤레복소수를 곱하기)로 표준형 변환 필수
✏️ 단계별 풀이
1
허근 유리화
\[\frac{b+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i} = \frac{(b+i)(1+i)}{1+1} = \frac{(b-1)+(b+1)i}{2}\] \[= \frac{b-1}{2}+\frac{b+1}{2}i\]
\[\frac{b+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i} = \frac{(b+i)(1+i)}{1+1} = \frac{(b-1)+(b+1)i}{2}\] \[= \frac{b-1}{2}+\frac{b+1}{2}i\]
2
켤레근 성질로 b 결정
\(x^2-4x+a=0\)의 두 근의 합 = 4이므로
두 근의 합 = \(2\cdot\dfrac{b-1}{2} = b-1 = 4 \implies b=5\)
\(x^2-4x+a=0\)의 두 근의 합 = 4이므로
두 근의 합 = \(2\cdot\dfrac{b-1}{2} = b-1 = 4 \implies b=5\)
3
두 근 결정 및 a 계산
\(b=5\)이면 허근 = \(\dfrac{4}{2}+\dfrac{6}{2}i = 2+3i\)
켤레근 성질로 다른 근 = \(2-3i\)
두 근의 곱 = \((2+3i)(2-3i)=4+9=13=a\)
\(b=5\)이면 허근 = \(\dfrac{4}{2}+\dfrac{6}{2}i = 2+3i\)
켤레근 성질로 다른 근 = \(2-3i\)
두 근의 곱 = \((2+3i)(2-3i)=4+9=13=a\)
4
최종 계산
\[a+b = 13+5 = 18\]
\[a+b = 13+5 = 18\]
정답 : ⑤ \(a+b=18\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
분수형 허근 처리 3단계
① 분모의 켤레복소수를 곱해 유리화
② 표준형 \(p+qi\) (p, q는 b의 식)으로 정리
③ 켤레근 성질로 두 근의 합 = \(2p\), 방정식 계수와 연결해 b 결정
① 분모의 켤레복소수를 곱해 유리화
② 표준형 \(p+qi\) (p, q는 b의 식)으로 정리
③ 켤레근 성질로 두 근의 합 = \(2p\), 방정식 계수와 연결해 b 결정
⚠️ 이런 실수 조심!
- (b+i)(1+i) 전개 실수 — \(b+bi+i+i^2=b+bi+i-1=(b-1)+(b+1)i\)
- 두 근의 합 = 4이므로 켤레쌍의 실수부 = 2 — \(\dfrac{b-1}{2}=2\) 가 아니라 \(b-1=4\) (합이므로 2배!)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
