쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
523번 · \(P(\alpha)=\beta\), \(P(\beta)=\alpha\) 조건으로 이차식 \(P(x)\) 결정
— \(\alpha+\beta=1\)을 이용해 \(P(\alpha)+\alpha-1=0\)으로 변환!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (P(α)=β 조건 처리 고급 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 α+β=1 → β=1−α → P(α)=1−α → P(α)+α−1=0
- 📐 P(x)+x−1=0의 두 근이 α, β → P(x)+x−1=(x−α)(x−β)=x²−x+3/2
- ⚠️ P(α)=β를 P(α)=1−α로 바꾸는 아이디어가 핵심!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(2x^2-2x+3=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때,
이차식 \(P(x)\)가 \(P(\alpha)=\beta\), \(P(\beta)=\alpha\)를 만족시키고 \(x^2\)의 계수가 1일 때,
\(P(x)\)를 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 변환 아이디어
\(\alpha+\beta = \dfrac{2}{2}=1\)이므로 \(\beta=1-\alpha\)
\(P(\alpha)=\beta=1-\alpha \implies P(\alpha)+\alpha-1=0\)
마찬가지로 \(P(\beta)+\beta-1=0\)
→ \(P(x)+x-1=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)!
\(\alpha+\beta = \dfrac{2}{2}=1\)이므로 \(\beta=1-\alpha\)
\(P(\alpha)=\beta=1-\alpha \implies P(\alpha)+\alpha-1=0\)
마찬가지로 \(P(\beta)+\beta-1=0\)
→ \(P(x)+x-1=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)!
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계로 α+β, αβ 파악
\(\alpha+\beta=1\), \quad \(\alpha\beta=\dfrac{3}{2}\)
\(\alpha+\beta=1\), \quad \(\alpha\beta=\dfrac{3}{2}\)
2
P(x)+x−1 결정
\(P(x)+x-1=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이고 \(P(x)\)의 \(x^2\) 계수가 1이므로:
\[P(x)+x-1 = (x-\alpha)(x-\beta) = x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\] \[= x^2-x+\frac{3}{2}\]
\(P(x)+x-1=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이고 \(P(x)\)의 \(x^2\) 계수가 1이므로:
\[P(x)+x-1 = (x-\alpha)(x-\beta) = x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\] \[= x^2-x+\frac{3}{2}\]
3
P(x) 결정
\[P(x) = x^2-x+\frac{3}{2}-x+1 = x^2-2x+\frac{5}{2}\]
\[P(x) = x^2-x+\frac{3}{2}-x+1 = x^2-2x+\frac{5}{2}\]
정답 : \(P(x)=x^2-2x+\dfrac{5}{2}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(P(\alpha)=\beta\), \(P(\beta)=\alpha\) 조건 처리 루틴
① \(\alpha+\beta\)값을 근과 계수의 관계로 구함
② \(\beta = (\alpha+\beta)-\alpha\)로 표현 → \(P(\alpha)\)를 \(\alpha\)만의 식으로 변환
③ \(P(\alpha)+\alpha-(\alpha+\beta)=0\) 형태로 변환
④ \(P(x)+x-(\alpha+\beta)=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)임을 이용
① \(\alpha+\beta\)값을 근과 계수의 관계로 구함
② \(\beta = (\alpha+\beta)-\alpha\)로 표현 → \(P(\alpha)\)를 \(\alpha\)만의 식으로 변환
③ \(P(\alpha)+\alpha-(\alpha+\beta)=0\) 형태로 변환
④ \(P(x)+x-(\alpha+\beta)=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)임을 이용
⚠️ 이런 실수 조심!
- P(α)=β를 직접 근과 계수의 관계에 대입하려는 실수 — β=1−α 변환 후 P(α)+α−1=0이 핵심!
- P(x)+x−1=(x−α)(x−β)에서 αβ=3/2 대입 계산 실수 — 2x²−2x+3=0에서 αβ=3/2 (÷2 필수!)
- P(x) = x²−x+3/2 −(x−1)로 정리하는 과정에서 부호 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
5분
수능·모의고사
4분
🖼️ 교재 해설 이미지
