쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
513번 · \(f(x)=0\)의 근 → \(f(4x-3)=0\)의 두 근의 합
— \(4x-3=\alpha\) → \(x=(\alpha+3)/4\) 치환이 핵심!
난이도 : 중
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (합성함수 치환 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 f(4x−3)=0 → 4x−3=α or β → x=(α+3)/4 or (β+3)/4
- 📐 두 근의 합=(α+β+6)/4=(6+6)/4=3
- ⚠️ x=(α+3)/4에서 분모 4를 빠뜨리지 않기
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(f(x)=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때 \(\alpha+\beta=6\)입니다.
이차방정식 \(f(4x-3)=0\)의 두 근의 합을 구하는 문제입니다.
🔑 치환 전략
\(f(4x-3)=0\)이면 \(4x-3\)이 \(f\)의 근이어야 합니다.
\(f(x)=0\)의 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이므로:
\[4x-3=\alpha \implies x=\frac{\alpha+3}{4}\] \[4x-3=\beta \implies x=\frac{\beta+3}{4}\]
\(f(4x-3)=0\)이면 \(4x-3\)이 \(f\)의 근이어야 합니다.
\(f(x)=0\)의 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이므로:
\[4x-3=\alpha \implies x=\frac{\alpha+3}{4}\] \[4x-3=\beta \implies x=\frac{\beta+3}{4}\]
✏️ 단계별 풀이
1
f(4x−3)=0의 두 근 결정
두 근: \(\dfrac{\alpha+3}{4}\), \(\dfrac{\beta+3}{4}\)
두 근: \(\dfrac{\alpha+3}{4}\), \(\dfrac{\beta+3}{4}\)
2
두 근의 합 계산
\[\frac{\alpha+3}{4}+\frac{\beta+3}{4}=\frac{(\alpha+\beta)+6}{4}=\frac{6+6}{4}=3\]
\[\frac{\alpha+3}{4}+\frac{\beta+3}{4}=\frac{(\alpha+\beta)+6}{4}=\frac{6+6}{4}=3\]
정답 : ② 3
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(f(ax+b)=0\)의 근 변환 공식
\(f(x)=0\)의 근: \(\alpha\), \(\beta\)
\(f(ax+b)=0\)의 근: \(\dfrac{\alpha-b}{a}\), \(\dfrac{\beta-b}{a}\)
두 근의 합: \(\dfrac{(\alpha+\beta)-2b}{a}\)
두 근의 곱: \(\dfrac{\alpha\beta-b(\alpha+\beta)+b^2}{a^2}=\dfrac{(\alpha-b)(\beta-b)}{a^2}\)
\(f(x)=0\)의 근: \(\alpha\), \(\beta\)
\(f(ax+b)=0\)의 근: \(\dfrac{\alpha-b}{a}\), \(\dfrac{\beta-b}{a}\)
두 근의 합: \(\dfrac{(\alpha+\beta)-2b}{a}\)
두 근의 곱: \(\dfrac{\alpha\beta-b(\alpha+\beta)+b^2}{a^2}=\dfrac{(\alpha-b)(\beta-b)}{a^2}\)
⚠️ 이런 실수 조심!
- 4x−3=α → x=α−3으로 잘못 변환하는 실수 — 반드시 \(x=\dfrac{\alpha+3}{4}\) (분모 4 포함!)
- 두 근의 합이 (α+β)/4 = 6/4로 잘못 계산하는 실수 — \((\alpha+3)+(\beta+3) = \alpha+\beta+6\) 확인!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분 30초
수능·모의고사
2분
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