쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
493번 · \(\dfrac{1}{\alpha}\), \(\dfrac{1}{\beta}\)를 두 근으로 하는 이차방정식
— 합 = (α+β)/αβ, 곱 = 1/αβ 즉 계수만 뒤집으면 끝!
난이도 : 하
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (역수 두 근 이차방정식 구성)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 1/α+1/β=(α+β)/αβ, 1/(αβ)
- 💡 꿀팁: 원래 방정식 ax²+bx+c=0의 계수를 뒤집으면 cx²+bx+a=0!
- ⚠️ αβ≠0 확인 필요
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(3x^2-5x+1=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때,
\(\dfrac{1}{\alpha}\), \(\dfrac{1}{\beta}\)를 두 근으로 하는 이차방정식을 구하는 문제입니다.
💡 꿀팁 — 계수를 뒤집어라!
원래 방정식: \(3x^2-5x+1=0\)
역수 방정식: \(1\cdot x^2-5x+3=0\) → 즉 \(x^2-5x+3=0\)
ax²+bx+c=0의 역수근 방정식은 cx²+bx+a=0!
원래 방정식: \(3x^2-5x+1=0\)
역수 방정식: \(1\cdot x^2-5x+3=0\) → 즉 \(x^2-5x+3=0\)
ax²+bx+c=0의 역수근 방정식은 cx²+bx+a=0!
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta=\dfrac{5}{3}\), \(\quad\alpha\beta=\dfrac{1}{3}\)
\(\alpha+\beta=\dfrac{5}{3}\), \(\quad\alpha\beta=\dfrac{1}{3}\)
2
새 두 근의 합·곱
합: \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{5/3}{1/3}=5\)
곱: \(\dfrac{1}{\alpha\beta}=3\)
합: \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{5/3}{1/3}=5\)
곱: \(\dfrac{1}{\alpha\beta}=3\)
3
새 이차방정식
\[x^2-5x+3=0\]
\[x^2-5x+3=0\]
정답 : \(x^2-5x+3=0\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
역수 방정식 초고속 구성법
\(ax^2+bx+c=0\)의 두 근의 역수를 새 근으로 하면:
→ \(cx^2+bx+a=0\) (최고차계수와 상수항을 맞바꾸면 끝!)
\(ax^2+bx+c=0\)의 두 근의 역수를 새 근으로 하면:
→ \(cx^2+bx+a=0\) (최고차계수와 상수항을 맞바꾸면 끝!)
⚠️ 이런 실수 조심!
- αβ=0인 경우 역수가 정의되지 않음 — c≠0인지 먼저 확인!
- 합·곱 계산 후 방정식 x²+(합)x+(곱)으로 잘못 쓰는 실수 — x²-(합)x+(곱)=0!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분
🖼️ 교재 해설 이미지
