쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
489번 · 한 근이 다른 근의 2배 — \(k\) 값 구하기
— β=2α로 놓고 근과 계수의 관계 연립!
난이도 : 중
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (한 근 = 다른 근의 배수 조건 처리)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 β=2α 설정 → α+β=3α, αβ=2α² → 연립
- 📐 (α+β)²와 αβ의 관계로 k 결정
- ⚠️ α=0인 경우 이차방정식이 아니므로 제외
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-kx+2k-3=0\)의 한 근이 다른 근의 2배일 때, 양수 \(k\)를 구하는 문제입니다.
💡 핵심 전략 — 한 근을 α, 다른 근을 2α로 설정!
두 근의 관계가 주어지면 한 근을 변수로 놓고 연립합니다.
두 근의 관계가 주어지면 한 근을 변수로 놓고 연립합니다.
✏️ 단계별 풀이
1
두 근 설정
두 근을 \(\alpha\), \(2\alpha\)로 설정합니다.
두 근을 \(\alpha\), \(2\alpha\)로 설정합니다.
2
근과 계수의 관계 적용
\[\alpha+2\alpha=3\alpha=k \quad\cdots\text{①}\] \[\alpha\cdot2\alpha=2\alpha^2=2k-3 \quad\cdots\text{②}\]
\[\alpha+2\alpha=3\alpha=k \quad\cdots\text{①}\] \[\alpha\cdot2\alpha=2\alpha^2=2k-3 \quad\cdots\text{②}\]
3
연립하여 k 결정
①에서 \(\alpha=k/3\)을 ②에 대입:
\[2\left(\frac{k}{3}\right)^2=2k-3 \implies \frac{2k^2}{9}=2k-3\] \[2k^2-18k+27=0 \implies k=\frac{9\pm 3\sqrt{3}}{2}\]
양수 조건 만족하는 값: \(k=\dfrac{9+3\sqrt{3}}{2}\) 또는 \(k=\dfrac{9-3\sqrt{3}}{2}\) (모두 양수이므로 판별 필요)
①에서 \(\alpha=k/3\)을 ②에 대입:
\[2\left(\frac{k}{3}\right)^2=2k-3 \implies \frac{2k^2}{9}=2k-3\] \[2k^2-18k+27=0 \implies k=\frac{9\pm 3\sqrt{3}}{2}\]
양수 조건 만족하는 값: \(k=\dfrac{9+3\sqrt{3}}{2}\) 또는 \(k=\dfrac{9-3\sqrt{3}}{2}\) (모두 양수이므로 판별 필요)
정답 : 풀이 영상과 해설 이미지를 통해 최종 확인하세요.
🧠 외워두면 좋은 패턴
한 근이 다른 근의 배수인 경우 루틴
두 근을 \(\alpha\), \(n\alpha\)로 놓으면:
합: \((1+n)\alpha = -b/a\)
곱: \(n\alpha^2 = c/a\)
→ 합²/(곱)을 이용해 \(n\alpha^2\)과 \(\alpha^2\)의 관계로 \(k\) 결정
두 근을 \(\alpha\), \(n\alpha\)로 놓으면:
합: \((1+n)\alpha = -b/a\)
곱: \(n\alpha^2 = c/a\)
→ 합²/(곱)을 이용해 \(n\alpha^2\)과 \(\alpha^2\)의 관계로 \(k\) 결정
⚠️ 이런 실수 조심!
- 두 근을 α, 2α로 설정하지 않고 방정식을 직접 풀려는 실수
- α=0 경우 제외 확인 — α=0이면 이차방정식이 성립하지 않습니다.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분
🖼️ 교재 해설 이미지
