쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
447번 · 한 근이 주어진 이차방정식 — 다른 근 구하기
— 한 근 대입 → 미정계수 \(k\) 결정 → 방정식 풀기
난이도 : 중
📋 이 포스팅에 담긴 내용
- 📹 풀이 영상 (미정계수 결정 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 “한 근 대입” 풀이 전략 완전 분석
- 📐 \(k\) 구한 후 방정식을 다시 풀어야 하는 이유
- ⚠️ 부호 처리 실수 방지 요령
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2 – 2kx – k + 1 = 0\)의 한 근이 \(-1\)일 때, 다른 한 근을 구하는 문제입니다. (\(k\)는 상수)
한 근 \(x=-1\) 대입
→
\(k\) 값 결정
→
방정식 완성 후 풀기
→
다른 한 근
💡 단서는 여기에 있어요!
“한 근이 \(-1\)”이라는 정보 → \(x = -1\)을 방정식에 대입하면 등식이 성립해야 합니다.
이것이 \(k\)에 관한 일차방정식이 되므로 \(k\)를 쉽게 구할 수 있습니다!
대입 후 \(k\)가 결정되면, 이제 완성된 이차방정식을 다시 풀어 다른 한 근을 찾으세요.
“한 근이 \(-1\)”이라는 정보 → \(x = -1\)을 방정식에 대입하면 등식이 성립해야 합니다.
이것이 \(k\)에 관한 일차방정식이 되므로 \(k\)를 쉽게 구할 수 있습니다!
대입 후 \(k\)가 결정되면, 이제 완성된 이차방정식을 다시 풀어 다른 한 근을 찾으세요.
✏️ 단계별 풀이
1
\(x = -1\) 대입하여 \(k\) 구하기
\[(-1)^2 – 2k(-1) – k + 1 = 0\] \[1 + 2k – k + 1 = 0\] \[k + 2 = 0\] \[k = -2\]
\[(-1)^2 – 2k(-1) – k + 1 = 0\] \[1 + 2k – k + 1 = 0\] \[k + 2 = 0\] \[k = -2\]
2
\(k = -2\)를 대입해 방정식 완성
\[x^2 – 2(-2)x – (-2) + 1 = 0\] \[x^2 + 4x + 3 = 0\]
\[x^2 – 2(-2)x – (-2) + 1 = 0\] \[x^2 + 4x + 3 = 0\]
3
인수분해하여 두 근 모두 구하기
\[(x+3)(x+1) = 0\] \[x = -3 \quad \text{또는} \quad x = -1\] \(x=-1\)은 이미 알고 있는 근이므로, 다른 한 근은 \(x = -3\).
\[(x+3)(x+1) = 0\] \[x = -3 \quad \text{또는} \quad x = -1\] \(x=-1\)은 이미 알고 있는 근이므로, 다른 한 근은 \(x = -3\).
정답 : ④ 다른 한 근 \(x = -3\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
미정계수 결정 패턴 (내신 단골!)
꿀팁: 근과 계수의 관계 활용 (빠른 풀이)
\(k=-2\)일 때 방정식 \(x^2+4x+3=0\)에서
두 근의 합 \(= -4\), 한 근이 \(-1\)이므로 다른 근 \(= -4-(-1) = -3\) — 인수분해 없이 바로!
- 주어진 근을 방정식에 대입 → 미지수(k) 구하기
- k 값을 원 방정식에 대입 → 계수를 숫자로 확정
- 완성된 방정식 풀기 → 나머지 근 찾기
꿀팁: 근과 계수의 관계 활용 (빠른 풀이)
\(k=-2\)일 때 방정식 \(x^2+4x+3=0\)에서
두 근의 합 \(= -4\), 한 근이 \(-1\)이므로 다른 근 \(= -4-(-1) = -3\) — 인수분해 없이 바로!
⚠️ 이런 실수 조심!
- \((-1)^2 = -1\)로 잘못 계산 — \((-1)^2 = +1\)! 음수의 제곱은 반드시 양수.
- \(-2k \cdot (-1)\)을 \(-2k\)로 처리 — \(-2k \times (-1) = +2k\)입니다. 부호 두 번 확인!
- \(k\)를 구한 뒤 방정식을 다시 풀지 않고 \(x=-1\)을 다른 근으로 제출하는 실수 — 반드시 완성된 이차방정식을 풀어야 합니다.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분 30초
⚡ 시간 단축 비결: 대입 → k값 → 새 방정식 → 근의 합 활용 순서가 가장 빠릅니다. “두 근의 합 = \(-b/a\)”를 이용하면 인수분해 없이 바로 다른 근을 계산할 수 있어요.
🖼️ 교재 해설 이미지
📚 추천 학습 루트
① 연산 워크시트
연산 28
이차방정식 근의 판별
연산 29
근과 계수의 관계
연산 30
이차방정식의 작성