행복한 일등급문제
원소의 합 조건
여집합과 차집합
벤다이어그램 영역 분해
출제의도
이 문항은 집합을 ‘개수’가 아니라 ‘원소의 합’으로 다루게 만드는 문제입니다. 주어진 것은 A, B, A∩B의 합 세 개와 여집합의 원소 개수 하나뿐인데, 최종적으로 요구하는 것은 B−A의 원소들을 하나하나 확정해서 곱하는 일입니다. 조건에서 집합을 역으로 복원할 수 있는지를 묻는 전형적인 일등급 문항입니다.
핵심 도구는 두 가지입니다. 하나는 합에 대해서도 그대로 성립하는 포함배제, 즉 S(A∪B)=S(A)+S(B)−S(A∩B)이고, 다른 하나는 전체집합의 합에서 A∪B의 합을 빼면 여집합의 합이 나온다는 관계입니다. 이 두 개를 연결하면 ‘원소 4개의 합이 11’이라는 매우 좁은 조건이 만들어지고, 거기서부터 집합이 한 줄로 확정됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
집합 X의 모든 원소의 합을 S(X)로 두고 시작하세요. 개수에 대한 포함배제 공식은 합에 대해서도 똑같이 성립합니다. 조건 (가)의 세 값만으로 S(A∪B)가 바로 계산됩니다.
이제 조건 (나)를 봅니다. Ac∩Bc은 드모르간의 법칙으로 (A∪B)c입니다. 즉 여집합의 원소가 4개라는 뜻이고, 그 4개의 합은 S(U)−S(A∪B)로 이미 정해져 있습니다. 1부터 10까지 중에서 이 조건을 만족하는 네 수를 찾으면 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
여집합이 확정되면 A∪B의 원소 6개가 그대로 드러납니다. 이제 A∪B를 A−B, A∩B, B−A 세 영역으로 나누고 각 영역의 합을 배분하는 문제로 바뀝니다. A−B의 합은 S(A)−S(A∩B), B−A의 합은 S(B)−S(A∩B)로 구합니다.
먼저 합이 12가 되는 A∩B를 A∪B의 원소들 중에서 찾고, 남은 네 수를 합 13과 합 19로 갈라 보세요. 남은 수들의 크기를 보면 갈라지는 방법은 하나뿐입니다. 마지막에 구하는 것은 B−A의 ‘곱’이라는 점을 잊지 마세요.
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상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A여집합 (A∪B)c 확정하기
S(U)=1+2+⋯+10=55이고, 조건 (가)에서 S(A∪B)=25+31−12=44입니다. 따라서 여집합의 원소의 합은 55−44=11이고, 조건 (나)에서 원소는 4개입니다. 1부터 10까지의 서로 다른 네 수의 합이 11이 되는 경우는 1, 2, 3, 5뿐이므로 (A∪B)c={1, 2, 3, 5}입니다.
STEP B세 영역 A−B, A∩B, B−A 나누기
여집합의 나머지가 A∪B이므로 A∪B={4, 6, 7, 8, 9, 10}입니다. 이 중 합이 12가 되는 조합은 4와 8뿐이므로 A∩B={4, 8}입니다. 남은 6, 7, 9, 10을 합 25−12=13과 합 31−12=19로 나누면 A−B={6, 7}, B−A={9, 10}으로 유일하게 결정됩니다.
STEP CB−A의 원소의 곱 구하기
따라서 구하는 값은 9×10=90입니다.
1등급 다른 풀이 · 원소의 개수를 먼저 못 박기
여집합이 원소 4개이므로 n(A∪B)=10−4=6입니다. 그런데 세 영역 A−B, A∩B, B−A의 합이 각각 13, 19, 12로 모두 10보다 큽니다. 전체집합의 원소는 10 이하이므로 한 영역이 원소 하나만 가질 수는 없습니다. 즉 세 영역 모두 원소가 2개 이상인데 총합이 6이므로, 세 영역의 원소는 정확히 2개씩입니다.
이 사실을 먼저 확정하고 나면 ‘합이 12인 두 수’, ‘합이 13인 두 수’, ‘합이 19인 두 수’를 A∪B 안에서 찾는 단순한 작업만 남습니다. 경우를 나눠 시행착오하는 시간을 크게 줄여 주는 접근이라 시험장에서 특히 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- Ac∩Bc을 그대로 두지 말고 드모르간의 법칙으로 (A∪B)c로 바꾸세요. 이 변환을 하지 않으면 조건 (가)와 연결되지 않습니다.
- 합이 11인 서로 다른 네 자연수를 찾을 때 다른 조합이 더 있는지 반드시 확인하세요. 1, 2, 3, 5 외에는 존재하지 않는다는 점을 확인해야 답이 유일해집니다.
- A−B의 합은 S(A)−S(A∩B)입니다. S(A)−S(B) 같은 식을 쓰면 완전히 다른 값이 나옵니다.
- 구하는 것은 B−A이지 A−B가 아닙니다. 방향을 뒤집으면 6×7로 답이 달라집니다.
- 마지막이 ‘합’이 아니라 ‘곱’입니다. 19라고 답하는 실수가 가장 많이 나오는 지점입니다.
엄선된 풀이 영상
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