행복한 일등급문제
드모르간의 법칙
이차부등식의 해집합
출제의도
이 문항은 집합의 연산 법칙과 이차부등식을 한 문제 안에서 연결합니다. 앞부분은 드모르간의 법칙으로 식을 간단히 하여 두 집합 A, B의 관계를 알아내는 집합 문제이고, 뒷부분은 그 관계를 만족하도록 부등식의 계수를 결정하는 대수 문제입니다.
일등급 문항인 이유는 조건식이 U라는 전체집합으로 주어졌다는 점에 있습니다. ‘어떤 집합이 전체집합과 같다’는 말이 결국 ‘빠지는 원소가 하나도 없다’는 뜻임을 읽어내야 A∪B=U와 A∩B=∅이라는 두 조건이 동시에 나옵니다. 이 두 조건은 곧 B가 A의 여집합이라는 뜻이고, 그때부터 부등식의 해집합을 수직선 위에서 맞추는 작업이 시작됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
Aᶜ∪Bᶜ는 드모르간의 법칙에 의해 (A∩B)ᶜ입니다. 따라서 주어진 식은 (A∪B)와 (A∩B)ᶜ의 교집합, 즉 합집합에서 교집합을 뺀 부분이 전체집합과 같다는 뜻이 됩니다.
합집합에서 교집합을 뺀 집합이 전체집합이 되려면, 합집합이 이미 전체집합이어야 하고 뺄 것이 아무것도 없어야 합니다. 이 두 조건을 각각 식으로 적어 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
A∪B=U이면서 A∩B=∅이라는 것은 B가 정확히 A의 여집합이라는 뜻입니다. 먼저 이차부등식을 풀어 A를 구간으로 나타내고, 그 여집합을 수직선 위에 그려 B가 어떤 모양이어야 하는지 확인하세요.
A는 두 수 사이의 열린 구간이므로 여집합은 바깥쪽 닫힌 부분이 됩니다. 부등식 ax²+6x+b≤0의 해가 바깥쪽이 되려면 이차항의 계수가 음수여야 하고, 경계가 되는 두 값이 A의 양 끝과 일치해야 합니다. 이를 a(x−1)(x−2)≤0 꼴로 쓰고 계수를 비교하세요.
정답 확인
정답 ab = 8 (a=−2, b=−4)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건식을 A, B의 관계로 바꾸기
드모르간의 법칙으로 Aᶜ∪Bᶜ를 (A∩B)ᶜ로 고치면 주어진 식은 (A∪B)−(A∩B)=U가 됩니다. 이 집합이 전체집합이 되려면 A∪B=U이고 A∩B=∅이어야 하므로, B는 A의 여집합입니다.
STEP BA를 구간으로 구하고 여집합 그리기
이차부등식을 인수분해하여 A를 두 근 사이의 열린 구간으로 나타냅니다. 그 여집합은 두 근을 포함하는 바깥쪽 영역이므로, 수직선 위에 A와 B를 함께 그려 두 집합이 빈틈없이 맞물리는지 확인합니다.
STEP C계수 비교로 a, b 결정하기
B의 부등식이 두 근을 경계로 바깥쪽을 나타내려면 ax²+6x+b≤0을 a(x−1)(x−2)≤0 꼴로 볼 수 있어야 합니다. 전개한 뒤 x의 계수와 상수항을 각각 비교하면 a와 b가 차례로 결정되고, 두 값을 곱해 답을 얻습니다.
1등급 다른 풀이 · 경계값을 직접 대입하기
계수를 통째로 비교하는 대신, 두 집합이 맞물리는 지점에서 등호가 성립한다는 성질을 이용할 수 있습니다. B가 A의 여집합이라면 A의 양 끝 값은 B에 속하고, 그 지점에서 이차식의 값은 정확히 0이 되어야 합니다.
그러므로 A의 두 경계값을 ax²+6x+b에 각각 대입하면 a와 b에 대한 일차식 두 개가 나오고, 이를 연립하면 두 미지수가 한 번에 결정됩니다. 마지막으로 구한 a가 음수인지 확인하여 부등식의 해가 정말 바깥쪽 영역이 되는지 점검하면 논리가 완결됩니다. 계수 비교 과정에서 부호 실수가 잦은 학생이라면 이 방법이 더 안전합니다.
실수를 줄이는 전략
- Aᶜ∪Bᶜ=(A∩B)ᶜ입니다. 드모르간의 법칙에서 합집합과 교집합이 서로 바뀐다는 점을 헷갈리면 첫 줄부터 어긋납니다.
- ‘전체집합과 같다’는 조건은 반드시 두 개의 조건으로 분해해서 적으세요. 하나만 쓰면 B의 모양이 확정되지 않습니다.
- 이차항의 계수 부호를 반드시 확인하세요. a가 양수이면 해가 두 근 사이가 되어 A의 여집합이 될 수 없습니다.
- 등호 처리에 주의하세요. A는 부등호가 등호를 포함하지 않는 열린 구간이고 B는 등호를 포함하므로, 경계의 두 점이 B에 속해야 두 집합이 전체집합을 빈틈없이 덮습니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.