행복한 일등급문제
차집합과 여집합
부분집합의 개수
출제의도
이 문항은 집합의 연산으로 주어진 등식을 ‘집합 X가 어떤 원소를 반드시 포함하고 어떤 원소를 반드시 배제해야 하는가’라는 조건으로 번역하는 능력을 묻습니다. 등식 자체를 풀려고 달려들면 길을 잃지만, 포함관계로 바꾸어 읽으면 조건은 두 줄로 정리됩니다.
일등급 문항으로 배치된 이유는 두 단계의 사고가 연속으로 필요하기 때문입니다. 먼저 차집합을 여집합과의 교집합으로 바꾸고, 다음으로 X∪A와 X∩Bᶜ가 각각 X를 어느 쪽으로 밀어내는 연산인지를 파악해야 합니다. 마지막 개수 세기는 ‘반드시 포함·반드시 제외·자유’라는 세 분류가 끝나면 지수 계산 한 번으로 끝납니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
차집합은 여집합과의 교집합으로 바꿔 쓸 수 있습니다. X−B를 X∩Bᶜ로 고쳐 두면 등식의 양변이 모두 X를 중심으로 한 연산이 되어 비교하기 쉬워집니다.
이제 크기를 비교해 보세요. 합집합은 X보다 커지거나 같고, 교집합은 X보다 작아지거나 같습니다. 두 결과가 서로 같아지려면 양쪽 모두 X와 같아야 한다는 결론이 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
X∪A=X에서 A⊂X가, X∩Bᶜ=X에서 X⊂Bᶜ, 즉 X∩B=∅이 나옵니다. 결국 X는 A의 원소를 모두 담고 B의 원소는 하나도 담지 않는 U의 부분집합입니다.
따라서 X는 A를 포함하고 Bᶜ에 포함되는 집합, 즉 A⊂X⊂Bᶜ를 만족합니다. 이런 X의 개수는 Bᶜ의 원소 개수에서 A의 원소 개수를 뺀 만큼을 지수로 하는 2의 거듭제곱입니다.
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상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A등식을 X의 조건으로 번역하기
차집합을 여집합과의 교집합으로 바꾸어 등식을 다시 씁니다. 좌변은 X를 키우는 연산, 우변은 X를 줄이는 연산이므로 두 값이 같으려면 양변이 모두 X와 일치해야 합니다. 여기서 ‘A의 원소는 반드시 포함, B의 원소는 반드시 제외’라는 조건이 나옵니다.
STEP B포함관계로 정리하고 개수 세기
조건을 A⊂X⊂Bᶜ 형태의 포함관계 한 줄로 정리합니다. 이때 X에 넣을지 말지를 자유롭게 정할 수 있는 원소는 Bᶜ의 원소 중 A에 속하지 않는 것들뿐이므로, 그 개수를 지수로 한 2의 거듭제곱이 구하는 부분집합의 개수입니다.
1등급 다른 풀이 · 원소별로 소속을 판정하기
공식을 쓰지 않고 전체집합의 원소를 하나씩 훑으면서 ‘X에 들어갈 수 있는가’를 판정하는 방법도 있습니다. 등식이 성립하려면 A의 원소는 X에 없을 수 없고, B의 원소는 X에 있을 수 없다는 사실이 STEP A에서 이미 나왔기 때문입니다.
그러면 U의 원소는 ‘반드시 들어가는 원소’, ‘절대 들어갈 수 없는 원소’, ‘들어가도 되고 빠져도 되는 원소’의 세 부류로 완전히 나뉩니다. 앞의 두 부류는 경우의 수에 전혀 기여하지 않고, 세 번째 부류만 각각 두 가지 선택을 가지므로 곱의 법칙으로 2를 그 개수만큼 곱하면 됩니다. 부분집합 개수 공식을 외우지 않아도 답이 나오고, A⊂X⊂Bᶜ 꼴이 왜 2의 거듭제곱이 되는지도 함께 설명됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 차집합 X−B를 B−X로 바꿔 쓰지 않도록 주의하세요. 차집합은 순서가 바뀌면 완전히 다른 집합이 됩니다.
- X∪A=X와 A⊂X는 같은 말입니다. 이 동치 관계를 매번 벤다이어그램으로 확인하지 말고 바로 쓸 수 있을 만큼 익혀 두세요.
- 자유롭게 정할 수 있는 원소를 셀 때 A의 원소를 함께 세지 않도록 주의하세요. 지수가 1만 커져도 답은 두 배가 됩니다.
- Bᶜ를 구할 때 전체집합의 원소를 빠뜨리기 쉽습니다. U의 원소를 모두 적어 놓고 B의 원소에 하나씩 표시를 지워 가며 확인하세요.
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