TOUGH
최다빈출 왕중요
세 집합의 합집합의 원소의 개수
여집합의 원소의 개수
출제의도
이 문항은 세 집합의 합집합의 원소의 개수 공식을 실제 조사 자료에 적용하는 능력을 묻습니다. 조건 (가)~(라)가 공식의 어느 자리에 들어가는 값인지를 하나씩 짝지어 놓으면, 계산 자체는 덧셈과 뺄셈뿐입니다. 관건은 문장을 n(A), n(A∩B), n(A∪C)라는 기호로 정확히 번역하는 일입니다.
TOUGH 스텝이자 최다빈출 유형인 이유는 조건 (다)가 교집합이 아니라 합집합의 개수로 주어졌다는 점에 있습니다. 필요한 값 n(A∩C)를 직접 주지 않고, 합집합 공식을 거꾸로 써서 끌어내도록 설계된 문항입니다. 또 하나의 함정은 (라)에서 n(B∩C)=0이 나올 때 n(A∩B∩C)까지 0임을 스스로 말할 수 있는가입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
전체 학생의 집합을 U, 세 과목을 수강한 학생의 집합을 차례로 A, B, C라 두고 조건을 기호로 옮겨 적는 것부터 시작하세요. ‘적어도 한 과목을 수강한’은 합집합, ‘모두 수강한’은 교집합입니다.
구하는 것은 ‘한 과목도 수강하지 않은 학생 수’, 즉 합집합의 여집합입니다. 여집합의 개수는 전체에서 합집합을 빼면 되므로, 결국 n(A∪B∪C)만 구하면 끝나는 구조입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
세 집합의 합집합 공식에는 n(A∩C)가 필요한데 문제는 이 값을 직접 주지 않습니다. 대신 두 집합 A, C에 대한 합집합 공식을 이용하면 n(A∩C)=n(A)+n(C)−n(A∪C)로 역산할 수 있습니다.
n(B∩C)=0이면 A∩B∩C는 B∩C의 부분집합이므로 그 개수도 0입니다. 이제 여섯 개의 값을 세 집합 공식에 대입해 n(A∪B∪C)를 구하고, 마지막에 n(U)에서 빼세요.
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상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 집합 기호로 번역하기
전체집합 U와 세 과목의 수강자 집합 A, B, C를 정하면 조건 (가)에서 n(A), n(B), n(C)가, (나)에서 n(A∩B)가, (다)에서 n(A∪C)가, (라)에서 n(B∩C)가 각각 확정됩니다. 여기서 (다)만 합집합으로 주어졌다는 점을 표시해 두세요.
STEP B빠진 값 n(A∩C)와 n(A∩B∩C) 채우기
두 집합 공식을 역으로 써서 n(A∩C)=n(A)+n(C)−n(A∪C)로 구합니다. 또 n(B∩C)=0이므로 그 부분집합인 A∩B∩C의 원소의 개수도 0입니다. 이 두 값이 채워지면 세 집합의 합집합 공식에 넣을 재료가 모두 갖추어집니다.
STEP C합집합의 여집합으로 마무리하기
세 집합 공식으로 n(A∪B∪C)를 계산한 뒤, 구하는 값은 n((A∪B∪C)ᶜ)=n(U)−n(A∪B∪C)입니다. 전체 30명에서 합집합의 인원을 빼면 한 과목도 수강하지 않은 학생 수가 나옵니다.
1등급 다른 풀이 · 합집합을 ‘이어 붙여’ 세기
조건 (다)에서 n(A∪C)=22가 이미 통째로 주어져 있으므로, 세 집합 공식을 처음부터 다시 쓰는 대신 A∪C에 B를 덧붙이는 방식으로 볼 수 있습니다. n(A∪B∪C)=n(A∪C)+n(B)−n(B∩(A∪C))이기 때문입니다.
B가 A∪C와 겹치는 부분은 n(A∩B)+n(B∩C)−n(A∩B∩C)로 계산되는데, 미적분Ⅰ과 확률과 통계를 함께 들은 학생이 없다는 조건 덕분에 이 값은 n(A∩B)만 남습니다. 즉 B에서 겹치지 않고 새로 추가되는 인원만 A∪C 위에 얹으면 되므로, n(A∩C)를 따로 구하지 않고도 합집합의 인원이 바로 나옵니다. 벤다이어그램의 각 영역을 하나씩 채워 넣는 방식과도 잘 맞아떨어지는 접근입니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘적어도 한 과목’은 합집합, ‘모두’는 교집합입니다. 조건 (다)를 교집합으로 잘못 읽으면 이후 계산이 전부 어긋납니다.
- 세 집합 공식의 부호를 외울 때는 ‘더하기 셋, 빼기 셋, 더하기 하나’로 기억하세요. 마지막 n(A∩B∩C)를 빼는 실수가 가장 흔합니다.
- n(B∩C)=0에서 n(A∩B∩C)=0을 반드시 명시적으로 언급하고 넘어가세요. 서술형에서는 이 한 줄이 채점 포인트입니다.
- 마지막에 구하는 것은 합집합이 아니라 여집합입니다. n(A∪B∪C)를 구한 뒤 답으로 그대로 쓰지 말고, 전체 인원에서 빼는 마지막 한 단계를 잊지 마세요.
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