행복한 일등급문제
배수집합·약수집합
차집합의 원소의 개수
2024년 10월 고1 학력평가 27번
출제의도
이 문항은 ‘배수의 집합’과 ‘약수의 집합’이라는 두 성질을 포함관계 조건으로 번역하는 능력을 묻습니다. {3, 6}⊂A∩B라는 한 줄이 실은 두 개의 조건입니다. 3과 6이 모두 a의 배수라는 조건과, 3과 6이 모두 b의 약수라는 조건으로 분리해야 비로소 a와 b의 후보가 좁혀집니다.
일등급 문항으로 배치된 이유는 후보를 좁히는 데서 끝나지 않고 ‘최솟값’을 요구하기 때문입니다. b의 후보 세 개를 모두 검증해야 하는데, 그중 조건 (나)를 만족하지 못하는 경우를 걸러내는 과정에서 실수가 집중됩니다. 또한 a=1이 만드는 예외 상황을 잡아내지 못하면 출발부터 어긋납니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
A∩B⊂A이고 A∩B⊂B이므로, 조건 (가)는 {3, 6}⊂A와 {3, 6}⊂B로 쪼개집니다. 앞의 조건은 3과 6이 모두 a의 배수라는 뜻이고, 뒤의 조건은 3과 6이 모두 b의 약수라는 뜻입니다.
3과 6이 모두 a의 배수라면 a는 3과 6의 공약수입니다. 후보가 두 개로 줄어드는데, 그중 하나는 A가 전체집합이 되어 버려 조건 (나)와 충돌합니다. 이 예외를 반드시 확인하고 넘어가세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
이번에는 b입니다. 3과 6이 모두 b의 약수이므로 b는 3과 6의 공배수, 즉 6의 배수입니다. b≤20이라는 단서까지 쓰면 후보는 세 개뿐입니다.
각 b마다 B를 직접 나열하고 B−A의 원소가 정확히 2개인지 확인하세요. 조건을 통과한 b에 대해서만 A−B의 원소의 합을 계산하고, 그중 가장 작은 값을 고르면 됩니다. B가 커질수록 A에서 빠져나가는 원소가 늘어난다는 점을 염두에 두면 어느 쪽이 최솟값일지 미리 예상할 수 있습니다.
정답 확인
정답 27
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 집합 A 확정하기
3과 6이 모두 a의 배수이므로 a는 3과 6의 공약수, 즉 a=1 또는 a=3입니다. a=1이면 A는 전체집합이 되어 B−A=∅이 되므로 조건 (나)를 만족하지 못합니다. 따라서 a=3이고 A={3, 6, 9, 12, 15, 18}입니다.
STEP Bb의 후보를 검증하며 A−B의 합 계산하기
3과 6이 모두 b의 약수이므로 b는 6의 배수이고, b≤20에서 b=6, 12, 18입니다. b=6이면 B={1, 2, 3, 6}이라 B−A={1, 2}로 조건 (나)를 만족하고 A−B={9, 12, 15, 18}의 합은 54입니다. b=12이면 B−A={1, 2, 4}가 되어 조건 (나)를 만족하지 않습니다. b=18이면 B={1, 2, 3, 6, 9, 18}이라 B−A={1, 2}로 조건을 만족하고 A−B={12, 15}의 합은 27입니다.
STEP C최솟값 고르기
조건을 만족하는 두 경우의 값 54와 27 중 작은 값이 답이므로 A−B의 모든 원소의 합의 최솟값은 27입니다.
1등급 다른 풀이 · B−A를 소인수로 판별하기
A는 3의 배수 전체이므로, B−A는 곧 ‘b의 약수 중 3의 배수가 아닌 것’입니다. b가 6의 배수인 이상 b의 약수에는 1과 2가 항상 들어 있으므로 B−A는 언제나 1, 2를 포함합니다. 따라서 조건 (나)는 ‘b의 약수 중 3의 배수가 아닌 것이 1과 2뿐’이라는 조건과 같습니다.
b를 2와 3의 거듭제곱으로 쪼개 보면, 2의 지수가 2 이상이면 4가 약수로 들어와 조건이 깨집니다. 즉 b는 2×3k 꼴이어야 하고, 20 이하에서는 6과 18만 가능합니다. 이렇게 판별하면 b=12를 굳이 나열해 보지 않아도 걸러집니다. 게다가 B가 클수록 A−B에서 빠지는 원소가 많아지므로, 두 후보 중 더 큰 b=18이 최솟값을 준다는 것도 계산 전에 예측할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- a=1인 경우를 그냥 넘기지 마세요. A=U가 되어 B−A가 공집합이 되는지 확인하는 한 줄이 반드시 필요합니다.
- ‘a의 배수’와 ‘b의 약수’의 방향을 헷갈리지 마세요. a는 3과 6의 공약수, b는 3과 6의 공배수입니다. 반대로 잡으면 후보 자체가 달라집니다.
- b≤20이라는 단서를 놓치면 b=24, 30까지 세게 됩니다. 조건에 붙은 부등호를 문제 풀이 내내 유지하세요.
- 최솟값 문제이므로 조건을 만족하는 b를 하나 찾았다고 멈추면 안 됩니다. 세 후보를 모두 확인해야 합니다.
- B−A의 개수 조건을 만족하는지 확인한 뒤 계산해야 할 것은 A−B의 합입니다. 두 차집합을 끝까지 구분하세요.
엄선된 풀이 영상
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