최다빈출 왕중요
TOUGH
배수·약수의 집합
부분집합이 될 조건
출제의도
이 문항은 집합의 포함관계를 수의 약수·배수 관계로 번역할 수 있는지를 묻습니다. 배수의 집합 Am과 약수의 집합 Bn은 겉모습은 비슷하지만 포함관계의 방향이 정반대로 움직입니다. 이 방향성을 정확히 잡는 것이 문제의 전부라고 해도 과언이 아닙니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 두 가지를 한 문제 안에서 동시에 다루기 때문입니다. 앞쪽은 배수 집합의 교집합, 뒤쪽은 약수 집합의 교집합인데, 하나는 최소공배수로, 다른 하나는 최대공약수로 모입니다. 그리고 최댓값을 묻는 쪽과 최솟값을 묻는 쪽이 서로 반대라서, 앞의 결론을 그대로 뒤에 복사하면 반드시 틀립니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
A3∩A4는 “3의 배수이면서 동시에 4의 배수인 수”의 모임입니다. 3과 4의 공배수는 곧 12의 배수이므로, 이 교집합 자체가 다시 A 꼴의 집합 하나로 압축됩니다. 같은 논리로 B16∩B24는 16과 24의 공약수, 즉 최대공약수의 약수들의 모임입니다.
정리하면 배수 집합의 교집합은 최소공배수, 약수 집합의 교집합은 최대공약수로 모입니다. 먼저 이 압축부터 해두고 시작하세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
이제 A12⊂Ap가 성립할 조건을 생각합니다. 배수의 집합은 기준 수가 작을수록 커집니다. 12의 배수가 전부 p의 배수여야 하므로 p는 12를 나누어야 합니다. 즉 p는 12의 약수이고, 그 중 가장 큰 값을 고르면 됩니다.
반대로 B8⊂Bq에서 약수의 집합은 기준 수가 클수록 커집니다. 8의 약수가 전부 q의 약수이려면 q가 8의 배수여야 하고, 이때는 가장 작은 값을 찾는 것이므로 결론이 정반대 방향으로 나옵니다. 두 값을 구했으면 더하면 끝입니다.
정답 확인
정답 20 (p의 최댓값 12, q의 최솟값 8)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A자연수 p의 최댓값 구하기
A3∩A4는 3과 4의 공배수의 집합, 즉 12의 배수의 집합이므로 A3∩A4=A12입니다. A12⊂Ap를 만족시키려면 p는 12의 약수여야 하므로, 자연수 p의 최댓값은 12입니다.
STEP B자연수 q의 최솟값 구하기
B16∩B24는 16과 24의 공약수의 집합, 즉 8의 약수의 집합이므로 B16∩B24=B8입니다. B8⊂Bq를 만족시키려면 q는 8의 배수여야 하므로, 자연수 q의 최솟값은 8입니다. 따라서 구하는 값은 12+8=20입니다.
1등급 다른 풀이 · 포함관계를 나눗셈 기호로 바꿔 쓰기
이 유형은 매번 원소를 나열해 확인하지 말고, 다음 두 줄을 공식처럼 외워 두는 편이 압도적으로 빠릅니다. 배수의 집합에서는 Aa⊂Ab ⟺ b가 a의 약수, 약수의 집합에서는 Ba⊂Bb ⟺ b가 a의 배수입니다. 포함관계의 화살표 방향과 약수·배수의 방향이 서로 뒤집힌다는 점만 기억하면 됩니다.
교집합도 마찬가지로 Aa∩Ab=A[a,b](최소공배수), Ba∩Bb=B(a,b)(최대공약수)로 일반화됩니다. 이 두 쌍을 알고 있으면 이 문제는 “12의 최대 약수는 12”, “8의 최소 배수는 8″이라는 두 줄로 끝납니다. 참고로 합집합까지 확장하면 Aa∪Ab는 A 꼴로 압축되지 않지만 Ba∪Bb도 마찬가지여서, 교집합에서만 이 압축이 성립한다는 점도 함께 기억해 두세요.
실수를 줄이는 전략
- 배수 집합과 약수 집합의 포함 방향이 반대입니다. 기준 수가 커지면 배수 집합은 작아지고, 약수 집합은 커집니다. 이 한 줄을 문제 옆에 적어 두고 시작하세요.
- 앞은 최댓값, 뒤는 최솟값을 묻습니다. 두 문장을 한 번에 읽고 같은 방향으로 처리하려다 한쪽을 반대로 답하는 실수가 가장 많습니다.
- A3∩A4를 A7이나 A1로 착각하지 마세요. 교집합은 곱이 아니라 최소공배수입니다. 3과 4처럼 서로소일 때만 우연히 곱과 일치합니다.
- B16∩B24에서 최대공약수 8을 최소공배수 48로 바꿔 쓰는 실수도 잦습니다. 약수는 “작아지는 쪽”으로 모인다고 방향을 고정하세요.
- 마지막에 두 값을 곱하지 말고 더해야 합니다. 문제 문장을 한 번 더 읽고 대입하세요.
엄선된 풀이 영상
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