일등급
2009년 03월 고2 학력평가 17번
부분집합의 짝 대응
규칙 정의형 기출
출제의도
이 문항은 낯선 규칙 m(A)가 새로 정의되고, 그 값을 31개의 부분집합 전체에 대해 더하라고 요구합니다. 31개를 하나씩 계산하는 것은 시험장에서 불가능하므로, 출제자는 처음부터 부분집합들을 둘씩 짝지어 묶는 관점을 요구하고 있습니다. 개별 값이 아니라 짝의 합이 일정하다는 구조를 발견하는 것이 전부입니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 규칙 자체가 부호가 번갈아 붙는 형태여서 대부분의 항이 서로 상쇄된다는 점을 알아채기 어렵기 때문입니다. 규칙을 읽고 몇 개를 직접 계산해 보며 패턴을 잡는 실험적 태도가 필요한 유형입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
부분집합을 가장 큰 원소 5를 포함하는가를 기준으로 두 무리로 나눠 보세요. 5를 포함하지 않는 집합 A에 대해 A∪{5}를 대응시키면, 31개(와 공집합까지 32개)의 부분집합이 정확히 둘씩 짝지어집니다.
이때 문제의 예시에 나온 B={1, 2, 4}와 C={1, 2, 4, 5}가 바로 그런 한 쌍입니다. 예시에서 m(B)+m(C)의 값이 무엇이었는지 다시 확인해 보세요. 그 값이 우연인지 아닌지가 이 문제의 열쇠입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
5를 포함하지 않는 집합을 A, 여기에 5를 넣은 집합을 B=A∪{5}라 하겠습니다. B는 원소를 큰 수부터 나열할 때 맨 앞이 5이고 그 뒤로 A의 원소들이 A와 같은 순서로 따라옵니다. 따라서 B의 계산식은 5에서 시작해 A의 계산식과 부호가 정확히 반대로 붙습니다.
즉 m(B)=5−m(A)이므로 m(A)+m(B)는 항상 일정한 값이 됩니다. 계산의 편의를 위해 m(∅)=0으로 약속하고 공집합까지 짝에 넣으면 짝의 개수는 25÷2가 됩니다. (짝의 합)×(짝의 개수)로 마무리하세요.
정답 확인
정답 ④ 80
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A5를 포함하지 않는 집합과 포함하는 집합을 짝짓기
{1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 25개를, 5를 원소로 갖지 않는 집합 A와 그 집합에 5를 더한 B=A∪{5}로 하나씩 대응시킵니다. ∅↔{5}, {1}↔{1, 5}, {2}↔{2, 5}와 같은 방식이며, 모든 부분집합이 빠짐없이 한 번씩만 짝에 들어갑니다.
STEP B짝의 합이 항상 5임을 확인하고 곱하기
B는 5로 시작하므로 A의 각 원소에 붙는 부호가 A에서와 반대가 되어 m(B)=5−m(A), 즉 m(A)+m(B)=5가 언제나 성립합니다. m(∅)=0으로 두면 짝의 개수는 25÷2=16이므로 전체 합은 5×16=80입니다.
1등급 다른 풀이 · 최댓값만 살아남는다는 관점
부호가 번갈아 붙는 계산에서는 상쇄가 일어납니다. 원소 k에 붙는 부호는 ‘k보다 큰 원소가 그 집합에 몇 개 들어 있는가’의 홀짝으로 정해지는데, 자기보다 큰 원소를 몇 개 고르느냐에 따라 +와 −가 정확히 같은 횟수로 나타납니다. 그래서 자기보다 큰 원소가 아예 존재하지 않는 최댓값 5를 제외한 모든 원소의 기여는 전부 0으로 사라집니다.
남는 것은 5가 포함된 집합에서 5가 항상 + 부호로 맨 앞에 놓인다는 사실뿐입니다. 5를 포함하는 부분집합은 나머지 {1, 2, 3, 4}를 자유롭게 고른 24=16개이므로 전체 합은 5×16=80이 됩니다.
이 관점을 쓰면 일반화가 바로 됩니다. {1, 2, …, n}의 공집합이 아닌 모든 부분집합에 대한 m의 총합은 언제나 n×2n−1입니다. 실제로 이 문항의 내신 연계 유형처럼 {1, 2, …, 6}으로 바뀌면 6×25=192가 즉시 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- 규칙 (나)는 큰 수부터 나열하라고 했습니다. 작은 수부터 쓰면 부호가 전부 뒤집혀 값이 달라지므로 나열 순서를 가장 먼저 확인하세요.
- 원소가 1개인 집합은 규칙 (가)의 적용을 받아 그 원소 자체가 값입니다. 여기에 −, +를 억지로 끼워 넣지 않도록 주의하세요.
- 문제에서 세는 대상은 공집합이 아닌 부분집합 31개입니다. 계산 편의로 m(∅)=0을 도입해 32개로 짝을 지어도 결과는 같지만, 그 이유(공집합의 값이 0이라 합에 영향이 없음)를 스스로 설명할 수 있어야 합니다.
- 31개를 하나씩 계산하려는 순간 이 문제는 시간 초과입니다. 값이 아니라 구조를 찾아야 한다는 신호로 받아들이세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.