일등급
A⊂X⊂B 꼴
순서쌍의 개수
출제의도
이 문항은 포함 관계가 두 겹으로 걸린 A⊂X⊂B 상황에서, 세는 기준을 무엇으로 잡을지를 묻습니다. A와 X를 동시에 정하려 하면 조건이 얽혀 손을 대기 어렵지만, 가운데 있는 X를 먼저 고정하면 A는 단순히 X의 부분집합이 되어 개수가 바로 나옵니다. ‘중간 단계를 먼저 확정한다’는 발상이 이 문제의 핵심입니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 순서쌍을 센다는 점 때문입니다. 집합 하나의 개수가 아니라 (A, X)라는 짝의 개수를 요구하므로, 각 X마다 가능한 A의 개수를 곱한 뒤 모두 더하는 구조를 스스로 세워야 합니다. 또 n(X)=0인 경우까지 빠뜨리지 않아야 합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
n(B)=3이라는 조건만 주어졌으므로 B의 원소가 무엇인지는 답에 영향을 주지 않습니다. B={a, b, c}처럼 이름을 붙여 놓고 개수만 따지면 됩니다.
A⊂X⊂B는 조건이 두 개 겹쳐 있습니다. 이럴 때는 가운데 집합 X를 먼저 정하는 것이 정석입니다. X를 정하고 나면 남은 조건은 A⊂X 하나뿐이고, 이는 X의 부분집합을 세는 익숙한 문제로 바뀝니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
X⊂B이므로 n(X)는 3, 2, 1, 0 중 하나입니다. 각 경우마다 그런 X가 몇 개인지(=B의 부분집합 중 원소가 그만큼인 것의 개수), 그리고 그 X 하나마다 A는 몇 개인지(=2n(X))를 표로 정리해 보세요.
예를 들어 n(X)=2인 X는 3개이고, 그 각각에 대해 A는 22=4개이므로 이 경우의 순서쌍은 3×4=12개입니다. 나머지 세 경우도 같은 방식으로 구해 모두 더하면 됩니다. n(X)=0일 때 A와 X가 모두 공집합인 경우 1개를 빠뜨리지 마세요.
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정답 27
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP An(X)의 값을 기준으로 경우 나누기
B={a, b, c}라 두면 A⊂X⊂B에서 n(X)는 3, 2, 1, 0의 네 가지입니다. n(X)=k인 X의 개수는 B의 원소 3개 중 k개를 뽑는 경우의 수이므로 각각 1개, 3개, 3개, 1개가 됩니다.
STEP B각 X마다 A의 개수를 곱해 더하기
A는 X의 부분집합이므로 n(X)=k인 X 하나마다 A는 2k개입니다. 따라서 순서쌍의 개수는 1×23=8, 3×22=12, 3×21=6, 1×20=1이고, 모두 더하면 8+12+6+1=27입니다.
1등급 다른 풀이 · 원소 하나하나의 ‘자리’로 보기
경우를 네 갈래로 나누지 않고, B의 원소 하나에만 집중해 보면 훨씬 짧아집니다. A⊂X⊂B이므로 B의 각 원소가 놓일 수 있는 자리는 다음 셋뿐입니다. ① A에도 X에도 속한다, ② X에는 속하지만 A에는 속하지 않는다, ③ 둘 다에 속하지 않는다.
‘A에는 속하는데 X에는 속하지 않는’ 네 번째 자리는 A⊂X 때문에 애초에 불가능합니다. 결국 원소마다 3가지 선택이 독립적으로 주어지고, 원소가 3개이므로 순서쌍 (A, X)의 개수는 33=27로 한 줄에 끝납니다.
이 접근의 장점은 일반화가 즉시 된다는 점입니다. n(B)=n이면 답은 언제나 3n이고, A⊂X⊂Y⊂B처럼 층이 하나 더 늘어나면 원소마다 자리가 4개가 되어 4n이 됩니다. 경우 나누기로는 감당하기 힘든 확장 문제도 이 관점이면 바로 대응할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- n(X)=0인 경우를 빠뜨리기 쉽습니다. A와 X가 모두 공집합인 순서쌍도 조건을 만족하는 정당한 1개입니다.
- 구하는 것은 X의 개수도, A의 개수도 아닌 순서쌍 (A, X)의 개수입니다. 각 경우에서 X의 개수와 A의 개수를 반드시 곱한 뒤 더하세요.
- A⊂X⊂B에서 A와 X는 서로 달라야 한다는 조건이 없습니다. A=X인 경우, A=X=B인 경우 모두 포함해서 세야 합니다.
- B의 원소가 구체적으로 주어지지 않았다고 당황하지 마세요. n(B)=3이라는 개수 정보만으로 답이 결정되는 구조입니다.
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