최다빈출 왕중요
TOUGH
드모르간 법칙 · 차집합
부분집합의 개수
출제의도
이 문항은 세 가지 능력을 한 번에 점검합니다. 첫째는 조건제시법으로 주어진 집합을 원소나열법으로 정확히 펼치는 힘, 둘째는 복잡해 보이는 집합식을 드모르간 법칙으로 간단한 차집합 한 덩어리로 압축하는 힘, 셋째는 P⊂X⊂U 꼴의 부분집합 개수 세기입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 (A∪B)∩(Ac∪Bc)라는 식이 처음 보면 손댈 곳이 없어 보이기 때문입니다. 여기서 Ac∪Bc=(A∩B)c라는 드모르간 법칙 한 줄을 떠올리지 못하면 원소를 하나하나 대조하는 긴 길로 빠집니다. 반대로 이 한 줄이 보이면 남는 것은 대칭차집합과 2의 거듭제곱 계산뿐입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
x=6n이 집합의 원소가 되려면 n이 6을 나누어떨어지게 해야 하므로, 결국 x는 6의 양의 약수가 됩니다. 같은 논리로 두 번째 집합의 원소는 8의 양의 약수입니다. 조건제시법에 겁먹지 말고 먼저 원소를 전부 적어 놓고 시작하세요.
그다음 Ac∪Bc를 보면 여집합 두 개의 합집합입니다. 드모르간 법칙을 쓰면 여집합 기호를 바깥으로 하나만 뽑아낼 수 있습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
Ac∪Bc=(A∩B)c이므로 P=(A∪B)∩(A∩B)c=(A∪B)−(A∩B)입니다. 즉 P는 합집합에서 교집합을 뺀 부분, 벤다이어그램에서 겹치지 않는 초승달 두 조각입니다. A와 B의 원소를 적어 두었다면 P는 눈으로 바로 읽힙니다.
마지막은 P⊂X⊂U를 만족시키는 X의 개수입니다. X는 U의 부분집합이되 P의 원소는 반드시 포함해야 하므로, 자유롭게 넣고 뺄 수 있는 원소는 U에서 P를 뺀 나머지뿐입니다. 그 개수가 k라면 답은 2k입니다.
정답 확인
정답 ⑤ 64
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타내기
x=6n에서 x는 6의 양의 약수이므로 A={1, 2, 3, 6}이고, x=8n에서 x는 8의 양의 약수이므로 B={1, 2, 4, 8}입니다. 두 집합 모두 U={1, 2, …, 10}의 부분집합이 맞는지도 함께 확인합니다.
STEP B집합 P를 원소나열법으로 나타내기
A∪B={1, 2, 3, 4, 6, 8}, A∩B={1, 2}입니다. 드모르간 법칙으로 P=(A∪B)∩(Ac∪Bc)=(A∪B)∩(A∩B)c=(A∪B)−(A∩B)이므로 P={3, 4, 6, 8}이 됩니다.
STEP CP⊂X⊂U를 만족시키는 X의 개수 구하기
{3, 4, 6, 8}⊂X⊂{1, 2, …, 10}이므로 X는 U의 부분집합 중 3, 4, 6, 8을 반드시 원소로 갖는 집합입니다. 나머지 6개의 원소만 자유롭게 선택하면 되므로 개수는 210−4=26=64입니다.
1등급 다른 풀이 · 대칭차집합으로 한 번에 읽기
(A∪B)−(A∩B)는 대칭차집합 A△B로 불리는 표준 도형입니다. 벤다이어그램에서 두 원이 겹친 부분만 도려낸 모양이므로, 드모르간 법칙을 전개하지 않아도 “합집합에서 겹친 부분만 뺀다”는 그림 한 장으로 P={3, 4, 6, 8}이 즉시 나옵니다. A에만 있는 {3, 6}과 B에만 있는 {4, 8}을 이어 붙인다고 생각해도 같습니다.
개수 세기 역시 공식으로 굳혀 두면 좋습니다. 전체집합의 원소가 n개이고 반드시 포함해야 하는 원소가 k개일 때, P⊂X⊂U를 만족시키는 X의 개수는 2n−k입니다. 여기에 “반드시 제외해야 하는 원소가 m개”라는 조건이 붙으면 2n−k−m으로 확장되므로, 내신 서술형에서 조건이 하나 더 붙어도 같은 틀로 처리할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- x=6n에서 n이 아니라 x가 원소입니다. n의 값 {1, 2, 3, 6}을 그대로 A로 적는 실수가 매우 잦습니다. 이 문제에서는 우연히 같지만, 분자가 12·18처럼 커지면 결과가 달라집니다.
- Ac∪Bc를 (A∪B)c로 잘못 바꾸지 마세요. 드모르간 법칙은 기호가 뒤집힙니다. 합집합의 여집합은 교집합, 여집합의 합집합은 교집합의 여집합입니다.
- P를 구한 뒤 개수를 24로 세지 마세요. 지수에 들어가는 것은 P의 원소 수가 아니라 자유롭게 선택 가능한 원소 수 10−4=6입니다.
- P⊂X이므로 X=P인 경우도 셈에 포함됩니다. 진부분집합 조건이 아니라면 1을 빼지 마세요.
- 전체집합 U가 1부터 10까지임을 마지막에 한 번 더 확인하세요. U를 자연수 전체로 착각하면 개수를 셀 수 없게 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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