TOUGH
집합의 연산과 포함관계
부분집합의 개수
출제의도
이 문항은 집합의 연산식을 포함관계로 번역하는 힘을 묻습니다. A∪X=A와 (A∩B)∪X=X는 겉으로는 연산식이지만, 둘 다 사실은 “누가 누구 안에 들어 있는가”를 말하는 문장입니다. 이 번역이 끝나면 X가 놓일 수 있는 자리는 위아래로 꽉 막힌 구간이 되고, 남는 것은 부분집합 개수 공식뿐입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 방향이 두 번 바뀌기 때문입니다. 보통은 개수를 묻지만 이 문제는 개수 16을 주고 거꾸로 a를 찾게 합니다. 게다가 마지막 단계에서 B가 연속하는 여섯 개의 자연수라는 사실을 스스로 떠올려야 합니다. 연산 → 포함관계 → 개수 → 다시 a로 이어지는 역방향 사고가 핵심입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
집합의 연산식은 두 개의 번역 규칙만 외우면 됩니다. “합집합을 했는데 큰 쪽 그대로다”는 작은 쪽이 큰 쪽에 포함된다는 뜻이고, “합집합을 했는데 X 그대로다”는 상대가 X 안에 이미 들어 있다는 뜻입니다.
두 조건을 각각 번역하면 X의 위 한계와 아래 한계가 하나씩 나옵니다. 이 둘을 한 줄로 이어 붙이면 X가 갇힌 구간이 보이고, 그 순간부터는 익숙한 부분집합 개수 문제로 바뀝니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
번역을 마치면 (A∩B)⊂X⊂A 꼴이 됩니다. 이런 형태에서 X의 개수는 2의 거듭제곱이고, 지수는 “넣어도 되고 빼도 되는 자유로운 원소의 개수”, 즉 n(A)−n(A∩B)입니다. n(A)=6이고 개수가 16=2⁴이므로 n(A∩B)가 곧바로 결정됩니다.
마지막이 진짜 관문입니다. B의 원소는 a+1부터 a+6까지 연속하는 여섯 개의 자연수이므로, A={1, 2, 3, 4, 5, 6}과 겹치는 부분은 항상 A의 뒤쪽 끝에서 잘려 나온 덩어리입니다. 그 덩어리의 크기가 앞에서 구한 값이 되도록 B의 시작점을 맞추면 a가 나옵니다.
정답 확인
정답 a = 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 조건을 포함관계 한 줄로 합치기
A∪X=A에서 X⊂A를 얻고, (A∩B)∪X=X에서 (A∩B)⊂X를 얻습니다. 두 결과를 이어 붙이면 (A∩B)⊂X⊂A입니다. 즉 X는 A의 부분집합 중에서 A∩B의 원소를 하나도 빠짐없이 갖고 있는 집합입니다.
STEP B개수 16에서 거꾸로 a 찾기
n(A∩B)=k라 하면 X의 개수는 2⁶⁻ᵏ입니다. 2⁶⁻ᵏ=16=2⁴에서 6−k=4, 즉 k=2입니다. B는 연속하는 여섯 개의 자연수이므로 A와 정확히 두 개를 공유하려면 B={5, 6, 7, 8, 9, 10}이어야 하고, a+1=5에서 a=4입니다.
1등급 다른 풀이 · 구간의 겹침으로 한 번에 세기
A는 1부터 6까지, B는 a+1부터 a+6까지의 연속한 정수 덩어리입니다. 길이가 같은 두 덩어리를 수직선 위에 놓고 B를 오른쪽으로 a칸 밀었다고 보면, 겹치는 정수의 개수는 a가 1씩 커질 때마다 정확히 1씩 줄어듭니다. 식으로 쓰면 1≤a≤5일 때 n(A∩B)=6−a이고, a≥6이면 겹치는 부분이 사라져 0입니다.
그러면 앞에서 얻은 n(A∩B)=2를 대입해 6−a=2, 즉 a=4가 곧바로 나옵니다. B의 원소를 일일이 나열해 A와 대조하지 않아도 되므로 시간이 크게 줄고, 만약 개수 조건이 16이 아니라 8이나 32로 바뀐 변형 문제가 나와도 6−a에 대입만 하면 끝납니다. 연속한 자연수로 이루어진 집합이 등장하면 원소를 세지 말고 구간의 위치 관계로 보는 습관을 들이세요.
실수를 줄이는 전략
- 번역 방향을 헷갈리지 마세요. A∪X=A와 A∩X=X는 둘 다 X⊂A로 같은 말이고, (A∩B)∪X=X는 반대로 A∩B가 X 안에 들어간다는 뜻입니다. 합집합의 결과가 누구로 남았는지를 보면 방향이 정해집니다.
- 개수 공식의 지수는 A의 원소 수가 아니라 “자유로운 원소의 수”입니다. 반드시 들어가야 하는 A∩B의 원소는 선택권이 없으므로 n(A)에서 빼고 세야 합니다.
- 2⁶⁻ᵏ=16에서 16=2⁴임을 놓치고 6−k=16으로 두거나, k=4로 답하는 실수가 자주 나옵니다. 지수끼리 비교한다는 점을 확인하세요.
- a는 자연수라는 단서를 반드시 씁니다. 이 조건이 없으면 A의 왼쪽에서 겹치는 경우도 생겨 답이 하나로 정해지지 않습니다.
- 구하는 것은 a이지 a+1이나 n(A∩B)가 아닙니다. B={5, 6, …}에서 5를 그대로 답으로 적지 않도록 마지막에 문제 문장을 한 번 더 읽으세요.
엄선된 풀이 영상
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