최다빈출 왕중요
TOUGH
차집합과 포함관계
부분집합의 개수
반드시 포함·반드시 제외
출제의도
이 문항은 집합의 조건을 ‘원소별 지시문’으로 번역하는 능력을 묻습니다. A−X=∅이라는 식은 계산할 것이 하나도 없지만, 이를 A⊂X라는 포함관계로 읽어 내면 곧바로 A의 원소들이 X에 반드시 들어가야 한다는 지시가 됩니다. 식을 붙들고 있으면 막히고, 말로 옮기면 풀립니다.
부분집합의 개수 공식 2n은 누구나 알지만, 이 문항에서 갈리는 것은 지수 n을 무엇으로 잡느냐입니다. 전체집합의 원소를 반드시 포함·반드시 제외·자유의 세 부류로 정확히 나눈 뒤, 자유롭게 결정되는 원소만 세는 것이 핵심입니다. 최다빈출 유형인 만큼 이 분류 습관을 확실히 몸에 붙여 두어야 합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
차집합이 공집합이라는 것은 ‘빼낼 것이 없다’, 즉 앞 집합의 원소가 모두 뒤 집합에 들어 있다는 뜻입니다. A−X=∅을 A⊂X로 바꿔 쓰면 A의 원소는 전부 X에 반드시 포함됩니다.
두 번째 조건에 등장하는 B−A는 먼저 원소나열법으로 직접 구해 두세요. 그다음 이 집합과 X의 교집합이 주어졌다는 사실을 읽으면 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
교집합이 특정 집합과 같다는 조건은 언제나 두 가지를 동시에 말합니다. 첫째, 그 안에 적힌 원소는 X에 반드시 들어간다. 둘째, B−A에 있으면서 그 안에 적히지 않은 원소는 X에 절대 들어가지 못한다. 두 번째 정보를 놓치는 순간 답이 두 배로 커집니다.
이제 전체집합의 원소 9개를 한 줄로 늘어놓고 각각에 O(반드시 포함), X(반드시 제외), ?(자유)를 적어 보세요. 개수는 ?가 붙은 원소의 개수만으로 결정되며, 그 개수가 n일 때 답은 2n입니다.
정답 확인
정답 ① 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 조건을 원소별 지시문으로 번역하기
A−X=∅에서 A⊂X이므로 A의 원소는 모두 X에 반드시 포함됩니다. 한편 B−A를 원소나열법으로 구한 뒤 (B−A)∩X가 주어진 집합과 같다는 조건을 읽으면, 그 집합의 원소는 X에 반드시 포함되고 B−A에 남은 나머지 원소는 X에서 반드시 제외됩니다.
STEP B자유 원소를 세어 부분집합의 개수 구하기
STEP A에서 반드시 포함되는 원소가 6개, 반드시 제외되는 원소가 1개로 확정됩니다. 전체집합의 원소는 9개이므로 아무 제약이 없는 자유 원소는 9−6−1=2개입니다. 각 자유 원소마다 ‘넣는다·안 넣는다’ 두 가지 선택이 있으므로 X의 개수는 22=4입니다.
1등급 다른 풀이 · 9칸 표로 계산 실수 없애기
전체집합의 원소를 가로로 9칸 늘어놓고 그 아래에 O·X·?를 적는 표를 만들어 보세요. A⊂X 조건으로 A의 원소 칸에 O를 찍고, (B−A)∩X 조건으로 지정된 원소 칸에 O를, B−A의 나머지 칸에 X를 찍습니다. 남은 칸이 자연스럽게 ?로 남습니다.
이 방식의 장점은 지수를 ‘빼기’로 계산하지 않고 ‘세기’로 계산한다는 데 있습니다. 9−6−1처럼 뺄셈으로 처리하면 A와 (B−A)∩X의 원소가 겹치는지 여부를 매번 확인해야 하지만, 표에서는 ?가 붙은 칸을 눈으로 세면 끝이므로 중복 계산 위험이 사라집니다.
일반화하면 이렇습니다. 반드시 포함되는 원소가 p개, 반드시 제외되는 원소가 q개일 때 조건을 만족하는 부분집합의 개수는 2(n−p−q)입니다. ‘특정 원소를 포함하고 특정 원소는 포함하지 않는 부분집합의 개수’ 유형은 전부 이 한 문장으로 처리됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 교집합 조건에서 ‘제외’ 정보를 반드시 챙기세요. B−A에 있으면서 교집합에 나타나지 않은 원소는 X에 들어가면 안 됩니다. 이 하나를 놓치면 답이 정확히 두 배가 되어 오답 선택지로 직행합니다.
- B−A와 A∩B를 혼동하지 마세요. 차집합은 B에는 있고 A에는 없는 원소만 모은 집합입니다.
- A−X=∅을 X−A=∅과 헷갈리면 포함관계의 방향이 반대가 됩니다. 앞에 놓인 집합이 부분집합이 된다고 외워 두세요.
- 2n의 지수를 셀 때는 전체 원소 수에서 확정된 원소 수를 모두 빼야 합니다. 포함 확정만 빼고 제외 확정을 빠뜨리는 경우가 가장 많습니다.
- 반드시 포함되는 원소를 셀 때 중복을 주의하세요. A의 원소와 교집합 조건이 지정한 원소가 서로 다른 원소인지 먼저 확인한 뒤 개수를 더해야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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