TOUGH
2021년 03월 고2 학력평가 28번
드모르간의 법칙
분배법칙
모든 원소에 대한 조건
출제의도
이 문항은 두 개의 낯선 조건을 각각 ‘이미 아는 모양’으로 번역하는 능력을 묻습니다. 조건 (가)의 Ac∪Bc는 드모르간의 법칙 한 번으로 A∩B의 여집합이 되고, 조건 (나)의 (A∪X)−B는 분배법칙 한 번으로 두 차집합의 합집합으로 쪼개집니다. 두 번의 변형이 끝나면 남는 것은 원소를 하나씩 따지는 판정 작업입니다.
TOUGH 스텝인 이유는 조건 (나)의 ‘모든 집합 X에 대하여’라는 표현 때문입니다. 원소가 한 개인 부분집합 전체를 대상으로 조건이 걸려 있으므로, U의 원소 하나하나가 B에 속하는지 아닌지를 빠짐없이 결정해야 합니다. 한 원소만 검증을 건너뛰어도 B가 달라져 답이 틀어집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
Ac∪Bc에 드모르간의 법칙을 적용하면 (A∩B)c가 됩니다. 즉 조건 (가)는 A∩B의 여집합을 원소나열법으로 알려 준 셈입니다.
이제 A와 (A∩B)c에 공통으로 들어 있는 원소를 찾아보세요. 그 원소들이 모여 A−(A∩B), 즉 A−B가 됩니다. A에서 A−B를 빼면 A∩B가 나오고, A∩B와 (A∩B)c를 합치면 문제에 명시되지 않았던 전체집합 U까지 확정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
조건 (나)의 (A∪X)−B를 차집합의 정의로 (A∪X)∩Bc로 바꾼 뒤 분배법칙을 쓰면 (A∩Bc)∪(X∩Bc), 곧 (A−B)∪(X−B)가 됩니다. A−B는 STEP A에서 이미 원소 한 개로 확정되어 있습니다.
따라서 이 합집합의 원소가 1개가 되려면 X−B가 공집합이거나 A−B와 똑같아야 합니다. X는 원소가 한 개인 U의 부분집합이므로, X가 A−B 자신인 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 각 원소가 B에 속해야 하는지를 판정하세요.
마지막으로 조건 (가)에서 얻은 A∩B의 원소도 잊지 말고 B에 포함시켜야 합니다. 두 경로에서 얻은 원소를 합쳐야 B가 완성됩니다.
정답 확인
정답 11
상세 해설
두 번째 이미지의 뒷부분에는 같은 구조의 내신 연계 출제문항 해설이 이어집니다. 본 문항을 먼저 정리한 뒤 연계 문항으로 넘어가세요.
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)에서 A∩B와 전체집합 U 확정하기
드모르간의 법칙으로 Ac∪Bc=(A∩B)c이므로 조건 (가)는 A∩B의 여집합을 알려 줍니다. A와 이 여집합의 공통 원소가 곧 A−(A∩B)=A−B이고, A에서 이를 제외하면 A∩B가 남습니다. 이어서 A∩B와 (A∩B)c를 합쳐 전체집합 U를 확정합니다. 벤 다이어그램에 A−B와 A∩B를 표시해 두면 다음 단계가 훨씬 수월합니다.
STEP B조건 (나)를 분배법칙으로 분해하고 원소 판정하기
(A∪X)−B=(A∪X)∩Bc=(A−B)∪(X−B)입니다. A−B의 원소가 이미 한 개이므로, 이 합집합의 원소가 1개이려면 X−B가 공집합이거나 A−B와 일치해야 합니다. X가 A−B 자신인 경우에는 조건이 자동으로 성립하고, 그 외의 한원소집합 X에 대해서는 X−B가 공집합이어야 하므로 해당 원소가 모두 B에 속해야 합니다.
STEP C집합 B를 완성하고 원소의 합 구하기
STEP B에서 얻은 원소들과 STEP A의 A∩B를 합치면 B가 결정됩니다. A−B의 원소는 정의상 B에 속하지 않으므로 반드시 제외해야 합니다. 완성된 B의 원소를 모두 더하면 11입니다.
1등급 다른 풀이 · 원소별 O/X 판정으로 한 번에 끝내기
경우를 나누지 않고 U의 원소를 하나씩 훑는 방법이 더 빠릅니다. 한원소집합 X={x}를 잡고 x가 A에 속하는지로 나눠 보세요.
x가 A의 원소이면 A∪X=A이므로 (A∪X)−B=A−B가 되어 원소 개수가 이미 1개, 조건은 x에 대해 아무 정보도 주지 않습니다. 반대로 x가 A의 원소가 아니면 (A−B)∪({x}−B)가 되는데, 만약 x가 B에 속하지 않는다면 원소가 2개가 되어 조건에 어긋납니다. 따라서 A에 속하지 않는 U의 모든 원소는 반드시 B에 속한다는 결론이 한 줄로 나옵니다.
여기에 조건 (가)에서 얻은 A∩B를 더하고, A−B의 원소만 빼면 B가 즉시 완성됩니다. 경우 (i), (ii)를 나눠 쓰는 서술 없이 마무리되므로 객관식·단답형에서 시간을 크게 줄일 수 있고, 서술형에서는 이 논증을 그대로 문장으로 옮기면 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- Ac∪Bc=(A∩B)c입니다. (A∪B)c로 잘못 바꾸면 이후 모든 원소 배치가 어긋납니다. 여집합을 벗기면 연산 기호가 뒤집힌다는 점을 기억하세요.
- 전체집합 U가 문제에 직접 주어지지 않았습니다. A∩B와 그 여집합을 합쳐 U를 먼저 만들어야 X의 후보를 빠짐없이 나열할 수 있습니다.
- ‘n(X)=1인 모든 집합 X’를 ‘어떤 X’로 읽으면 B의 조건이 헐거워져 답이 여러 개로 보입니다. 모든 원소에 대해 성립해야 한다는 점이 이 문제의 핵심입니다.
- A−B의 원소는 B에 속하지 않습니다. 마지막에 합을 구할 때 이 수를 B에 넣어 더하는 실수가 가장 흔합니다.
- (A∪X)−B를 분배법칙 없이 감으로 처리하지 마세요. 차집합을 교집합으로 바꾼 뒤 전개하는 두 줄을 반드시 쓰고 넘어가야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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