TOUGH
2020년 03월 고2 학력평가 28번
교집합이 공집합이 아닐 조건
여사건과 부분집합의 개수
출제의도
이 문항은 “적어도 하나는 포함한다”는 조건이 두 개나 동시에 걸렸을 때 부분집합을 어떻게 세는지를 묻습니다. X∩A≠∅과 X∩B≠∅은 각각 A의 원소 중 최소 한 개, B의 원소 중 최소 한 개를 X가 가져야 한다는 뜻입니다. 최소 조건은 정면으로 세기 어렵기 때문에, 뒤집어서 세거나 기준 원소로 경우를 가르는 두 가지 전략이 필요합니다.
TOUGH 스텝인 이유는 A와 B가 원소 2를 공유한다는 점 때문입니다. 두 조건이 완전히 독립이 아니라 겹치므로 단순히 곱하거나 더하면 반드시 틀립니다. 겹치는 부분을 어떻게 처리하느냐가 이 문제의 전부이고, 이는 뒤에 배울 경우의 수 단원의 포함배제 원리와 그대로 연결됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 U의 원소 다섯 개를 벤 다이어그램 위에 배치해 보세요. A에만 있는 원소, A와 B가 함께 갖는 원소, B에만 있는 원소, 어디에도 없는 원소가 각각 몇 개인지가 눈에 들어와야 합니다. 이 네 덩어리가 이후 모든 계산의 뼈대가 됩니다.
“둘 다 비어 있지 않다”를 직접 세는 대신 부정을 취해 보세요. 그러면 “적어도 하나가 비어 있다”가 되고, 전체 부분집합 2⁵개에서 그 개수를 빼는 길이 열립니다. 부정을 취할 때 ‘그리고’가 ‘또는’으로 바뀐다는 점이 결정적입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
여사건으로 갈 경우, X∩A=∅인 X의 개수, X∩B=∅인 X의 개수, 그리고 두 조건이 동시에 성립하는 X의 개수를 각각 구합니다. 어떤 집합과 만나지 않으려면 그 집합의 원소를 전부 버려야 하므로, 개수는 2의 (5−버린 원소 수) 제곱입니다. 세 번째 항에서 버려야 할 원소는 A∪B 전체라는 점을 놓치지 마세요.
세 값을 구했다면 “8+4−2” 형태로 겹침을 한 번 빼 주고, 전체 2⁵에서 그 값을 빼면 답입니다. 경우를 나누는 방식으로 풀고 싶다면 두 집합이 공유하는 원소 2를 X가 갖느냐 갖지 않느냐로 가르는 것이 가장 깔끔합니다.
정답 확인
정답 22
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A공유 원소 2를 기준으로 경우 나누기
A∩B={2}이므로 X가 2를 갖는지로 갈라 봅니다. 2∈X이면 X∩A와 X∩B가 모두 2를 포함하므로 두 조건이 저절로 만족되고, 나머지 네 원소는 자유이므로 2⁴=16가지입니다. 2∉X이면 조건을 살리기 위해 1은 반드시 넣어야 하고 3, 4 중 적어도 하나를 넣어야 합니다.
STEP B남은 경우를 세어 합치기
2∉X인 경우 1을 반드시 갖는 부분집합에서 3, 4를 모두 버린 것을 제외하면 2³−2=6가지입니다. 실제로 {1, 3}, {1, 4}, {1, 3, 4}와 여기에 5를 더한 세 가지, 모두 6가지입니다. 따라서 16+6=22입니다.
1등급 다른 풀이 · 여사건과 포함배제로 처리하기
조건 X∩A≠∅ “그리고” X∩B≠∅의 부정은 X∩A=∅ “또는” X∩B=∅입니다. X∩A=∅이려면 A의 원소 1, 2를 모두 버려야 하므로 2⁵⁻²=8가지, X∩B=∅이려면 2, 3, 4를 모두 버려야 하므로 2⁵⁻³=4가지입니다. 두 경우가 동시에 일어나려면 A∪B={1, 2, 3, 4}를 통째로 버려야 하므로 2⁵⁻⁴=2가지입니다.
따라서 조건을 만족하지 못하는 X는 8+4−2=10가지이고, U의 모든 부분집합 2⁵=32에서 빼면 32−10=22가 나옵니다. 경우를 나누는 풀이보다 계산이 짧고, A와 B가 원소를 여러 개 공유하거나 조건이 세 개로 늘어나는 변형에서도 그대로 확장됩니다. “적어도 하나”라는 표현을 보면 반사적으로 여사건을 먼저 떠올리는 것이 상위권의 습관입니다.
실수를 줄이는 전략
- 부정을 취할 때 ‘그리고’가 ‘또는’으로 바뀝니다. 두 조건을 각각 부정해 놓고 다시 ‘그리고’로 묶으면 답이 크게 어긋납니다.
- 포함배제에서 빼 주는 항은 A∪B를 모두 버린 경우이지 A∩B를 버린 경우가 아닙니다. “두 조건이 동시에 성립”의 뜻을 원소 단위로 다시 확인하세요.
- 지수 계산의 기준은 언제나 U의 원소 5개입니다. 반드시 넣는 원소와 반드시 빼는 원소를 5에서 차감하고 남은 개수가 지수가 됩니다.
- 2∉X인 경우에 5를 잊기 쉽습니다. 5는 A에도 B에도 없어 조건과 무관하므로 넣든 빼든 자유이고, 그래서 개수가 3이 아니라 6이 됩니다.
- 공집합과 원소 하나짜리 집합도 부분집합입니다. 세다가 경계 경우를 임의로 제외하지 마세요. 두 풀이의 답이 모두 22로 일치하는지 마지막에 교차 검산하면 확실합니다.
엄선된 풀이 영상
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