최다빈출 왕중요
TOUGH
부분집합의 개수
여사건 · 전체−반대
출제의도
원소가 5개인 부분집합을 세는 것 자체는 어렵지 않습니다. 이 문항이 TOUGH에 배치된 이유는 ‘6의 약수를 적어도 2개 이상 포함한다’는 조건 때문입니다. ‘적어도’라는 표현이 나오면 조건을 만족하는 경우를 직접 세는 것보다, 전체에서 조건을 만족하지 않는 경우를 빼는 것이 훨씬 빠르다는 판단을 요구합니다.
또 하나의 관문은 원소를 두 그룹으로 나누는 시각입니다. 1부터 10까지의 수를 ‘6의 약수 4개’와 ‘나머지 6개’로 분리해 놓고 나면, 몇 개씩 뽑을지를 조합으로 배분하는 문제로 바뀝니다. 이 분리를 못 하면 식이 세워지지 않습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 6의 약수를 빠짐없이 적어 보세요. 6의 약수는 1, 2, 3, 6으로 4개이고, 집합 A의 나머지 원소는 4, 5, 7, 8, 9, 10으로 6개입니다. 4개 그룹과 6개 그룹, 이 분리가 풀이의 출발점입니다.
‘적어도 2개 이상’의 반대는 ‘0개 또는 1개’입니다. 조건을 만족하는 경우가 2개·3개·4개로 세 갈래인 반면, 반대 경우는 두 갈래뿐입니다. 어느 쪽을 세는 것이 유리한지 비교해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
① 원소가 5개인 부분집합의 전체 개수를 10C5로 구합니다.
② 6의 약수를 0개 포함하는 경우는 나머지 6개에서 5개를 모두 뽑는 6C5, 1개만 포함하는 경우는 약수 4개 중 1개를 고르고 나머지 6개 중 4개를 고르는 4C1×6C4입니다.
③ ①에서 ②를 빼면 답이 됩니다. 두 번째 항에서 곱셈을 덧셈으로 착각하지 않도록 주의하세요.
정답 확인
정답 186
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A원소가 5개인 부분집합의 전체 개수 구하기
A={1, 2, 3, …, 10}이므로 원소가 5개인 부분집합의 개수는 10C5=252입니다. 이것이 조건 (가)만 만족하는 집합 전체의 개수입니다.
STEP B6의 약수를 0개 또는 1개만 포함하는 경우 세기
6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개, 나머지는 6개입니다. 약수를 0개 포함하는 경우는 6C5=6, 정확히 1개 포함하는 경우는 4C1×6C4=4×15=60이므로 합은 66입니다.
STEP C전체에서 빼서 집합 B의 개수 구하기
따라서 구하는 집합 B의 개수는 252−66=186입니다.
1등급 다른 풀이 · 포함하는 개수로 직접 분류하기
여사건이 잘 떠오르지 않는다면 6의 약수를 몇 개 포함하는지로 직접 나누어도 됩니다. 정확히 2개면 4C2×6C3=6×20=120, 정확히 3개면 4C3×6C2=4×15=60, 4개 모두면 4C4×6C1=1×6=6입니다.
세 경우를 더하면 120+60+6=186으로 같은 값이 나옵니다. 계산량은 조금 늘지만, 여사건 풀이의 답이 맞는지 검산하는 용도로 쓰면 좋습니다. 시험장에서는 ‘적어도’가 보이면 먼저 여사건을 시도하고, 시간이 남을 때 이 방법으로 확인하는 순서를 권합니다.
실수를 줄이는 전략
- 6의 약수는 1, 2, 3, 6의 4개입니다. 6 자신을 빼먹거나 4를 넣는 실수가 가장 흔합니다.
- ‘적어도 2개’의 여사건은 ‘1개 이하’, 즉 0개와 1개 두 경우 모두입니다. 0개만 빼면 답이 60만큼 커집니다.
- 정확히 1개인 경우는 ‘고르고 또 고르는’ 구조이므로 곱셈입니다. 4C1+6C4로 더하면 안 됩니다.
- 원소의 총합이 5개가 되도록 배분했는지 매번 확인하세요. 1+4=5, 2+3=5처럼 두 그룹에서 뽑은 개수의 합이 항상 5여야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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