최다빈출 왕중요
TOUGH
조건으로 정해지는 집합
부분집합의 개수 2ⁿ
출제의도
‘x∈X이면 36x∈X’라는 조건은 원소를 하나씩 보는 문제가 아니라 짝을 지어 보는 문제입니다. 36의 약수를 곱해서 36이 되는 두 수끼리 묶으면, 각 짝은 ‘둘 다 들어가거나 둘 다 안 들어가거나’ 두 가지뿐입니다. 개수 세기가 2ⁿ 꼴로 바뀌는 지점이 이 문항의 핵심입니다.
여기에 (나) 원소의 개수가 홀수라는 조건이 결정타를 날립니다. 짝지어지는 원소들은 언제나 2개씩 들어오므로 개수가 짝수가 됩니다. 홀수가 되려면 짝이 없는 원소, 즉 자기 자신과 짝이 되는 6이 반드시 들어가야 합니다. 36이 제곱수라는 사실을 알아채는 것이 이 문제의 전부라고 해도 과언이 아닙니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
X는 자연수의 부분집합이고 36/x도 X의 원소여야 하므로, x는 36의 약수일 수밖에 없습니다. 36의 약수 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36을 모두 적어 놓고 시작하세요.
이제 곱해서 36이 되는 두 수끼리 선으로 이어 보세요. 몇 개의 짝이 생기고, 짝을 이루지 못하고 홀로 남는 수는 무엇인가요? 그 수가 왜 홀로 남는지 생각해 보면 (나) 조건의 의미가 보입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
짝은 {1, 36}, {2, 18}, {3, 12}, {4, 9}의 4개이고, 6은 36/6=6이므로 자기 자신과 짝을 이룹니다. 각 짝은 통째로 X에 들어가거나 통째로 빠지므로, 짝만으로는 원소 개수가 항상 짝수입니다.
따라서 홀수가 되려면 6은 무조건 포함해야 합니다. 남은 자유도는 4개의 짝을 각각 넣을지 말지 정하는 것뿐이므로, 개수는 2⁴로 계산됩니다. 원소 9개를 하나씩 따지는 2⁹ 계산으로 가면 안 됩니다.
정답 확인
정답 ③ 16
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)를 만족하는 원소 후보 파악하기
x와 36/x가 모두 자연수여야 하므로 x는 36의 양의 약수인 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36입니다. 조건에 의해 1과 36, 2와 18, 3과 12, 4와 9는 한쪽이 X의 원소이면 나머지도 반드시 X의 원소이고, 6은 혼자서 조건을 만족합니다.
STEP B홀수 조건으로 6을 고정하고 개수 세기
짝지어진 원소는 2개씩 들어오므로 개수가 짝수입니다. 원소의 개수가 홀수이려면 6이 반드시 X의 원소여야 합니다. 남은 4개의 짝을 각각 넣거나 넣지 않는 경우의 수이므로 집합 X의 개수는 2⁴=16입니다.
1등급 다른 풀이 · 내신 연계 문항으로 일반화하기
같은 구조에서 36 대신 64를 넣으면 어떻게 될까요? 64의 약수는 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64이고 짝은 {1, 64}, {2, 32}, {4, 16}의 3개, 자기 자신과 짝이 되는 수는 8입니다. 원소 개수가 홀수이려면 8을 반드시 포함해야 하므로 답은 2³=8이 됩니다.
일반화하면 이렇습니다. 조건이 ‘x∈X이면 n/x∈X’이고 원소의 개수가 홀수일 때, n이 제곱수여야만 답이 존재하며 √n은 반드시 포함되고, 나머지 약수가 k개의 짝을 이루면 집합의 개수는 2ᵏ입니다. n이 제곱수가 아니면 홀수 개수는 애초에 불가능합니다. 이 한 줄만 기억하면 숫자가 바뀌어도 즉답할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 36의 약수를 빠짐없이 9개 적는 것이 먼저입니다. 4나 9를 빠뜨리면 짝의 개수가 틀어져 답이 절반이 됩니다.
- 6은 짝의 ‘한 쪽’이 아니라 그 자체로 하나입니다. {6, 6}을 두 개의 원소처럼 세면 개수가 달라집니다.
- 공집합은 원소가 0개로 짝수이므로 애초에 후보가 아닙니다. 6이 강제로 들어가므로 이 문제에서는 공집합 제외를 따로 신경 쓸 필요가 없습니다.
- 세는 대상은 원소가 아니라 짝입니다. 2⁹이나 2⁸이 나왔다면 짝 단위로 묶지 않은 것입니다.
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