TOUGH
최다빈출 왕중요
원소의 개수가 정해진 부분집합
적어도 조건과 여사건
출제의도
이 문항은 원소의 개수가 정해진 부분집합을 세는 유형에 ‘적어도’라는 조건을 결합한 문제입니다. 부분집합의 개수를 2ⁿ으로만 외운 학생은 손을 대지 못합니다. 원소 개수까지 지정되면 2ⁿ이 아니라 n개 중 k개를 뽑는 조합의 수로 세야 한다는 것이 이 문제의 첫 관문입니다.
두 번째 관문은 ‘적어도 한 개의 짝수’라는 표현입니다. 짝수가 1개인 경우, 2개인 경우, 3개인 경우를 모두 더해도 되지만, 여사건인 ‘짝수가 하나도 없는 경우’, 즉 세 원소가 모두 홀수인 경우를 전체에서 빼는 것이 압도적으로 빠릅니다. ‘적어도’를 보는 순간 여사건을 떠올리는 훈련이 이 문항의 목적입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 조건을 두 개로 분리하세요. ① 원소가 3개인 부분집합일 것, ② 그중 짝수가 적어도 하나 있을 것입니다. ①을 만족하는 부분집합의 개수부터 구해야 이야기가 시작됩니다.
A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}에서 홀수는 1, 3, 5, 7의 4개, 짝수는 2, 4, 6, 8의 4개로 정확히 반씩입니다. ‘적어도 한 개’라는 표현이 나오면 그 반대 상황이 무엇인지 먼저 적어 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
원소가 3개인 부분집합의 개수는 8개 중 3개를 뽑는 경우의 수이므로 ₈C₃=(8×7×6)/(3×2×1)=56입니다.
‘짝수가 적어도 한 개’의 반대는 ‘짝수가 한 개도 없다’, 즉 세 원소가 모두 홀수인 경우입니다. 홀수는 1, 3, 5, 7의 4개뿐이므로 그중 3개를 뽑는 경우의 수를 구해 56에서 빼면 됩니다.
정답 확인
정답 ③ 52
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A원소가 3개인 부분집합의 개수 구하기
A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}의 부분집합 중 원소가 3개인 것은 8개의 원소에서 3개를 뽑는 경우와 같으므로 ₈C₃=(8×7×6)/(3×2×1)=56개입니다.
STEP B여사건, 즉 모두 홀수인 경우 세기
짝수가 적어도 한 개 있다는 조건의 여사건은 세 원소가 모두 홀수인 경우입니다.
A의 원소 중 홀수는 1, 3, 5, 7의 4개이므로, 이 중 3개를 뽑는 경우의 수는 ₄C₃=₄C₁=4개입니다.
STEP C전체에서 빼서 답 구하기
따라서 구하는 집합의 개수는 56−4=52이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 짝수의 개수로 나누어 직접 더하기
여사건이 익숙하지 않다면 짝수를 몇 개 포함하는지로 경우를 나누어 직접 더해도 같은 답에 도달합니다. 짝수 4개와 홀수 4개에서 뽑는다고 보면, 짝수 1개·홀수 2개는 ₄C₁×₄C₂=4×6=24가지, 짝수 2개·홀수 1개는 ₄C₂×₄C₁=6×4=24가지, 짝수 3개는 ₄C₃=4가지이므로 24+24+4=52가지입니다.
두 방법을 모두 계산해 두면 검산이 됩니다. 다만 실전에서는 계산량 차이가 분명합니다. 여사건 풀이는 곱셈 두 번으로 끝나지만 직접 더하는 풀이는 세 가지 경우의 곱셈을 모두 처리해야 합니다. 경우의 수가 셋 이상으로 갈라지면 여사건 쪽이 유리하다는 기준을 세워 두세요.
실수를 줄이는 전략
- 원소의 개수가 지정된 부분집합에는 2ⁿ 공식을 쓸 수 없습니다. 2⁸=256으로 시작하는 순간 문제 구조가 무너집니다.
- “적어도 한 개”를 “정확히 한 개”로 읽으면 답이 24가 됩니다. 적어도는 1개, 2개, 3개를 모두 포함합니다.
- 여사건은 “짝수가 없다”이지 “홀수가 없다”가 아닙니다. 반대 조건을 반대로 잡으면 56−4가 아니라 엉뚱한 식이 나옵니다.
- ₄C₃을 계산할 때는 ₄C₃=₄C₁=4를 이용하면 빠릅니다. 뽑지 않을 1개를 고르는 것과 같다는 성질을 기억해 두세요.
엄선된 풀이 영상
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