TOUGH
최다빈출 왕중요
부분집합
조건을 만족시키는 집합의 개수
출제의도
이 문항은 X⊂A라는 긍정 조건과 X⊄B라는 부정 조건이 동시에 걸린 집합의 개수 문제입니다. 부분집합의 개수 공식을 아는지가 아니라, 부정 조건을 어떻게 셀 수 있는 형태로 바꾸는지를 묻습니다. 부정이 붙은 조건은 그대로 세지 않고 전체에서 여사건을 빼는 것이 원칙입니다.
최다빈출 문항인 만큼 함정도 분명합니다. X⊄B는 “X의 원소가 B에 하나도 없다”가 아니라 “X의 원소 중 B에 속하지 않는 것이 적어도 하나 있다”는 뜻입니다. 이 한 문장을 정확히 번역하면 나머지는 지수 계산 한 줄로 끝납니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 A와 B를 원소나열법으로 쓰세요. A는 8 이하의 소수, B는 6/n이 자연수가 되는 x의 집합, 즉 6의 약수 집합입니다. 두 집합을 나란히 써 놓고 A의 원소 중 B에 없는 것이 무엇인지 표시해 보세요.
X⊄B는 부정 조건이므로 직접 세기 어렵습니다. 조건이 X⊂A와 X⊄B 두 개이므로, X⊂A인 것 전체에서 X⊂B이기도 한 것을 빼는 구조로 생각하세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
A={2, 3, 5, 7}, B={1, 2, 3, 6}입니다. X⊂A인 집합은 모두 2⁴=16개입니다. 여기서 빼야 할 것은 X⊂A이면서 동시에 X⊂B인 집합입니다.
X⊂A이고 X⊂B라는 것은 X의 모든 원소가 A에도 B에도 속한다는 뜻이므로 X⊂A∩B와 같습니다. A∩B의 원소 개수를 구해 부분집합 개수를 계산한 뒤, 16에서 빼면 답입니다. 공집합도 B의 부분집합이므로 빼는 쪽에 포함된다는 점에 주의하세요.
정답 확인
정답 12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 집합을 원소나열법으로 바꾸기
A는 8 이하의 소수의 집합이므로 A={2, 3, 5, 7}입니다. 1은 소수가 아니고 4, 6, 8은 합성수이므로 제외됩니다.
B는 x=6/n이 자연수가 되는 x의 집합, 즉 6의 양의 약수의 집합이므로 B={1, 2, 3, 6}입니다.
STEP B부정 조건을 여집합 관점으로 뒤집기
X⊂A를 만족시키는 집합은 A의 부분집합이므로 모두 2⁴=16개입니다.
이 중 조건에 어긋나는 것은 X⊂B까지 만족하는 경우입니다. A의 부분집합 가운데 B의 부분집합이기도 하려면 X는 5와 7을 원소로 가질 수 없으므로, 남은 2와 3만으로 만들 수 있는 부분집합, 즉 2⁴⁻²=2²=4개입니다.
STEP C전체에서 빼서 개수 구하기
따라서 X⊂A이고 X⊄B를 만족시키는 집합 X의 개수는 16−4=12입니다.
같은 결론을 긍정 형태로 다시 읽으면, X는 A의 부분집합 중 5 또는 7을 반드시 원소로 갖는 집합이라는 뜻이 됩니다.
1등급 다른 풀이 · 교집합으로 한 번에 정리하기
X⊂A이고 X⊂B라는 두 조건은 “X의 모든 원소가 A와 B에 동시에 속한다”와 같으므로 X⊂A∩B 하나로 합쳐집니다. 여기서 A∩B={2, 3}이므로 빼야 할 집합의 개수는 2²=4개이고, 답은 곧바로 16−4=12가 됩니다.
이 관점의 장점은 A와 B가 복잡해져도 절차가 변하지 않는다는 데 있습니다. X⊂A이면서 X⊄B 꼴의 문제는 언제나 2^n(A) − 2^n(A∩B)로 정리되므로, 원소를 일일이 비교하며 “5 또는 7을 반드시 포함”을 따지지 않아도 됩니다. 세 집합 이상이 얽힌 변형 문제에서 특히 강력합니다.
실수를 줄이는 전략
- X⊄B를 “X의 원소가 B에 하나도 속하지 않는다”로 잘못 읽는 것이 이 문제의 최대 함정입니다. 부분집합이 아니라는 말은 “벗어나는 원소가 적어도 하나 있다”는 뜻입니다.
- 공집합을 잊지 마세요. 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 X=∅는 X⊂B에 해당하여 빼는 쪽에 들어갑니다. 이를 남겨 두면 답이 13이 됩니다.
- 1은 소수가 아닙니다. A에 1을 넣으면 원소가 5개가 되어 전체 개수가 32로 어긋납니다.
- B를 구할 때 x와 n이 모두 자연수라는 조건을 확인하세요. 6/4, 6/5는 자연수가 아니므로 B의 원소가 될 수 없습니다.
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