TOUGH
부분집합의 개수
원소의 합의 홀짝
출제의도
이 문항은 부분집합을 하나하나 세는 문제가 아니라, 조건을 만족시키는 부분집합의 구조를 먼저 파악하는 문제입니다. 원소의 합이 홀수인지 짝수인지는 오직 홀수 원소를 몇 개 넣었는가로만 결정됩니다. 짝수 원소 2, 4, 6은 몇 개를 넣든 합의 홀짝을 바꾸지 못하므로 자유롭게 넣었다 뺐다 할 수 있습니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 조건 (가) n(X)≥2 때문입니다. 홀짝 조건만 보고 개수를 세면 원소가 1개뿐인 집합이 섞여 들어가는데, 이 제외 처리를 놓치는 학생이 대단히 많습니다. 경우를 나누는 안목과 마지막 예외 처리, 두 가지를 동시에 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}에서 홀수는 1, 3, 5, 7의 4개, 짝수는 2, 4, 6의 3개입니다. 짝수는 더해도 합의 홀짝이 변하지 않으므로 합의 홀짝은 홀수 원소의 개수만으로 결정됩니다.
따라서 “합이 홀수”라는 조건은 곧 “X에 들어간 홀수 원소의 개수가 홀수”라는 조건과 같습니다. 홀수가 4개뿐이므로 가능한 개수는 1개 또는 3개, 이 두 가지뿐입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
홀수 원소를 몇 개 고를지 정한 다음, 짝수 원소 2, 4, 6은 넣든 말든 자유이므로 23가지를 곱하는 구조로 세면 됩니다. 홀수 1개인 경우와 3개인 경우를 따로 계산해 더하세요.
마지막이 승부처입니다. 홀수 1개만 고르고 짝수를 하나도 넣지 않으면 원소가 1개인 집합이 되어 조건 (가)를 위반합니다. 그런 집합이 몇 개인지 세어 반드시 빼 주세요.
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상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A합이 홀수가 되는 조건을 홀수 원소의 개수로 번역하기
A의 홀수는 1, 3, 5, 7의 4개, 짝수는 2, 4, 6의 3개입니다. 짝수를 아무리 더해도 합의 홀짝은 변하지 않으므로, X의 모든 원소의 합이 홀수가 되려면 X에 포함된 홀수 원소의 개수가 홀수여야 합니다. 즉 홀수를 1개 또는 3개 갖는 경우로 나뉩니다.
STEP B홀수의 개수로 나누어 세고, 원소가 1개인 집합 제외하기
( i ) 홀수가 1개인 경우 : 홀수 1개를 고르는 방법이 4가지, 짝수 2, 4, 6은 자유이므로 23=8가지, 곱하면 4×8=32개입니다. 이 중 {1}, {3}, {5}, {7}은 원소가 1개라 조건 (가)를 만족하지 않으므로 4개를 빼면 32−4=28개입니다.
( ii ) 홀수가 3개인 경우 : 홀수 4개 중 3개를 고르는 방법이 4가지, 짝수는 자유이므로 23=8가지, 곱하면 4×8=32개입니다. 이 경우는 원소가 이미 3개 이상이므로 제외할 것이 없습니다.
( i ), ( ii )에서 구하는 부분집합 X의 개수는 28+32=60입니다.
1등급 다른 풀이 · 대칭성으로 한 번에 세기
A의 부분집합 128개를 “1을 포함한 것”과 “1을 뺀 것”으로 짝지어 보면, 각 쌍의 두 집합은 합이 정확히 1만큼 차이 나므로 하나는 합이 홀수, 다른 하나는 합이 짝수가 됩니다. 128개가 완벽히 1:1로 짝지어지므로 합이 홀수인 부분집합은 정확히 절반인 64개입니다.
이제 조건 (가)를 위반하는 것만 빼면 됩니다. 원소가 1개 이하이면서 합이 홀수인 집합은 {1}, {3}, {5}, {7}의 4개뿐입니다(공집합은 합이 0으로 짝수라 애초에 해당되지 않습니다). 따라서 64−4=60. 경우를 나누지 않고 대칭성 한 줄로 끝나는 접근이며, 원소가 더 많은 집합으로 확장될 때 특히 강력합니다.
실수를 줄이는 전략
- 짝수 원소는 “조건에 관여하지 않는 자유 원소”입니다. 조건을 만족시키려 애쓰지 말고 23을 곱하는 계수로 처리하세요.
- 홀수를 5개 고르는 경우를 무심코 추가하지 마세요. A의 홀수는 4개뿐이므로 홀수 개수는 1 또는 3만 가능합니다.
- n(X)≥2 조건은 홀수 1개인 경우에서만 걸립니다. 홀수 3개인 경우까지 무언가를 빼면 답이 줄어듭니다.
- 공집합의 원소의 합은 0(짝수)입니다. 홀수 조건에 걸리지 않으므로 따로 뺄 필요가 없습니다.
엄선된 풀이 영상
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