TOUGH
특정 원소를 포함하는 부분집합
6의 배수 조건
출제의도
2016년 09월 고2 학력평가 가형 13번으로 출제된 문항입니다. 6=2×3이므로 “원소의 곱이 6의 배수”라는 조건은 소인수 2를 주는 원소와 소인수 3을 주는 원소를 각각 확보하라는 뜻으로 번역해야 합니다. A={3, 4, 5, 6, 7}에서 3을 주는 원소는 3과 6, 2를 주는 원소는 4와 6입니다.
핵심은 6이 두 역할을 혼자 해낸다는 점입니다. 그래서 6을 갖는 경우와 갖지 않는 경우로 나누면 두 경우가 겹치지 않게 정리됩니다. 이 기준을 잡지 못하고 “3의 배수를 갖는 경우 + 짝수를 갖는 경우”처럼 세면 중복이 발생해 답이 커집니다. 여기에 n(X)≥2 예외 처리까지 맞물려 TOUGH 난도가 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
곱이 6의 배수가 되려면 소인수분해했을 때 2와 3이 모두 있어야 합니다. A={3, 4, 5, 6, 7}에서 3을 공급하는 원소는 3, 6이고 2를 공급하는 원소는 4, 6입니다. 5와 7은 어느 쪽에도 기여하지 않는 자유 원소입니다.
6은 2와 3을 동시에 갖고 있습니다. 그러므로 6이 X에 들어 있기만 하면 다른 원소와 무관하게 조건이 성립합니다. 이 사실이 경우를 나누는 기준이 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
( i ) 6∈X인 경우와 ( ii ) 6∉X인 경우로 나누세요. 이렇게 나누면 두 경우가 절대 겹치지 않아 그냥 더하면 됩니다. ( ii )에서는 6이 없으므로 3(소인수 3)과 4(소인수 2)를 둘 다 반드시 가져야 합니다.
특정 원소를 반드시 갖는 부분집합의 개수는 나머지 원소의 개수를 k라 할 때 2k입니다. ( i )에서만 원소가 1개인 {6}이 나오므로 이것만 빼 주면 됩니다.
정답 확인
정답 ② 19
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A곱이 6의 배수가 되는 조건 파악하기
A={3, 4, 5, 6, 7}의 원소의 곱이 6의 배수가 되려면 6을 원소로 갖거나, 6이 없다면 3과 4를 모두 원소로 가져야 합니다. 5와 7은 조건에 아무 영향을 주지 않습니다.
STEP B6의 포함 여부로 나누어 개수 구하기
( i ) 6∈X일 때 : 6을 반드시 갖는 부분집합은 나머지 3, 4, 5, 7이 자유이므로 24=16개입니다. 이 중 원소가 1개인 {6}은 조건 (가)를 만족하지 않으므로 제외하여 16−1=15개입니다.
( ii ) 6∉X일 때 : 3과 4를 반드시 갖고 6은 갖지 않으므로 5, 7만 자유입니다. 따라서 22=4개이고, 이때 원소가 이미 2개 이상이므로 제외할 것이 없습니다.
( i ), ( ii )는 6의 포함 여부로 갈리므로 서로 겹치지 않습니다. 따라서 구하는 개수는 15+4=19입니다.
1등급 다른 풀이 · 포함배제로 처리하기
경우를 배타적으로 나누는 대신, 겹침을 계산해서 빼는 방식으로도 셀 수 있습니다. (6∈X이고 n(X)≥2인 집합의 개수)=24−1=15, (3, 4∈X인 집합의 개수)=23=8, 그리고 두 조건을 동시에 만족하는 (3, 4, 6∈X인 집합의 개수)=22=4입니다.
따라서 15+8−4=19로 같은 답을 얻습니다. 두 번째 항 8에는 {3, 4}처럼 원소가 2개인 집합만 들어 있어 n(X)≥2가 자동으로 만족되므로 추가 제외가 없다는 점을 확인하고 넘어가세요. 조건이 세 개 이상으로 늘어나는 문항에서는 이 포함배제 방식이 훨씬 안전합니다.
실수를 줄이는 전략
- “3의 배수를 포함 + 짝수를 포함”으로 단순히 더하면 6을 가진 집합이 두 번 세어집니다. 반드시 배타적 기준(6의 포함 여부)으로 나누거나 포함배제로 겹침을 빼세요.
- 5와 7은 곱의 6의 배수 여부와 무관합니다. 조건 분석에서 빼고, 개수를 셀 때만 22의 계수로 등장시키세요.
- ( ii )에서 “6∉X”를 빠뜨리면 ( i )과 중복됩니다. 6을 갖지 않는다는 조건이 지수 계산에서 −1로 반영되어야 합니다.
- n(X)≥2에 걸리는 것은 {6} 하나뿐입니다. 공집합은 애초에 곱 조건을 만족하지 않으므로 따로 신경 쓰지 않아도 됩니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.