TOUGH
부분집합의 개수
적어도 하나 조건
출제의도
이 문항은 부분집합의 개수를 세는 문제이지만, 조건이 ‘원소의 곱이 6의 배수’라는 정수 조건으로 위장되어 있습니다. 6=2×3이므로 X는 2의 배수를 적어도 하나, 3의 배수를 적어도 하나 가져야 한다는 두 개의 독립적인 조건으로 분해됩니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 6∉X라는 단서 때문입니다. 6 하나만 있으면 조건이 즉시 해결되는데 그 6이 막혀 있으므로, 2 역할과 3 역할을 서로 다른 원소가 나누어 맡아야 합니다. 원소를 역할별로 세 그룹으로 분류하고 각 그룹에서 ‘적어도 하나’ 조건을 따로 계산한 뒤 곱하는 흐름을 잡는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
조건 (가)에서 6∉X이므로 처음부터 U에서 6을 빼고 남은 여덟 개의 원소 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9만 놓고 생각하세요.
조건 (나)의 ‘곱이 6의 배수’는 소인수 2와 소인수 3이 모두 등장해야 한다는 뜻입니다. 이제 여덟 개의 원소를 2의 배수, 3의 배수, 어느 쪽도 아닌 수의 세 그룹으로 나누어 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
2의 배수는 2, 4, 8이고 이 중 적어도 하나를 반드시 포함해야 합니다. 3의 배수는 3, 9이고 역시 적어도 하나를 포함해야 합니다. 남은 1, 5, 7은 있어도 없어도 조건에 영향을 주지 않으므로 완전히 자유입니다.
‘적어도 하나’를 만족하는 부분집합의 개수는 전체에서 공집합 하나를 뺀 2ⁿ−1이고, 자유로운 그룹은 2ⁿ 그대로입니다. 세 그룹의 선택이 서로 독립이므로 곱의 법칙을 적용하세요. 조건 (가)의 X≠∅은 자동으로 만족됩니다.
정답 확인
정답 ⑤ 168
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 만족시키는 부분집합의 개수 구하기
조건 (나)에서 6=2×3이므로 X는 2의 배수와 3의 배수를 각각 적어도 하나씩 포함해야 합니다. (ⅰ) 6이 아닌 2의 배수 2, 4, 8 중 적어도 하나를 포함해야 하므로 2³−1=7가지, (ⅱ) 6이 아닌 3의 배수 3, 9 중 적어도 하나를 포함해야 하므로 2²−1=3가지, (ⅲ) 2의 배수도 3의 배수도 아닌 1, 5, 7은 자유이므로 2³=8가지입니다.
STEP B집합 X의 개수 구하기
세 그룹의 선택은 서로 영향을 주지 않으므로 곱의 법칙에 의해 7×3×8=168입니다. 각 경우에서 2의 배수와 3의 배수가 최소 하나씩 들어가 있으므로 X≠∅ 조건도 자동으로 충족되며, 답은 ⑤ 168입니다.
1등급 다른 풀이 · 여집합으로 세기
조건을 만족하는 경우를 직접 세는 대신, 전체에서 조건을 어기는 경우를 빼는 방식도 가능합니다. 6을 제외한 여덟 개 원소로 만들 수 있는 부분집합은 모두 2⁸=256개입니다. 조건이 깨지는 경우는 2의 배수가 하나도 없거나 3의 배수가 하나도 없는 경우입니다.
2의 배수를 하나도 갖지 않는 부분집합은 1, 3, 5, 7, 9로 만들므로 2⁵=32개, 3의 배수를 하나도 갖지 않는 부분집합은 1, 2, 4, 5, 7, 8로 만들므로 2⁶=64개, 둘 다 갖지 않는 경우는 1, 5, 7로 만들므로 2³=8개입니다. 합집합의 원소 개수는 32+64−8=88이므로 구하는 개수는 256−88=168로 같은 답이 나옵니다. 직접 세기와 여집합 세기가 일치하는지 확인하면 검산까지 한 번에 끝납니다.
실수를 줄이는 전략
- 6∉X 조건은 계산 도중에 기억하려 하지 말고, 시작할 때 아예 U에서 6을 지워 놓으세요. 8개 원소로 출발하면 이후 실수가 사라집니다.
- ‘적어도 하나’는 2ⁿ−1입니다. 공집합 하나만 빼면 되는데 2ⁿ−n처럼 잘못 빼는 경우가 자주 나옵니다.
- 세 그룹의 결과는 더하는 것이 아니라 곱해야 합니다. 각 그룹의 선택이 동시에 일어나는 독립 사건이기 때문입니다.
- 자유 그룹 1, 5, 7을 빠뜨리고 7×3=21로 끝내면 안 됩니다. 조건에 걸리지 않는 원소도 부분집합의 개수에는 그대로 기여합니다.
- X≠∅ 조건은 별도로 빼지 마세요. 곱이 6의 배수라는 조건 자체가 원소의 존재를 보장하므로 이미 포함되어 있습니다.
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