TOUGH
부분집합
2019년 03월 고2 학력평가 가형 25번
출제의도
이 문항은 n의 값에 따라 원소가 달라지는 집합족 Aₙ을 다룹니다. ‘√n 이하의 홀수’라는 조건은 n이 조금씩 커져도 집합이 그대로 유지되다가, √n이 특정 홀수를 넘어서는 순간에만 원소가 하나 늘어나는 계단 구조를 만듭니다. 이 구조를 파악하는 것이 문제의 전부입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 경계 조건에서 실수가 집중되기 때문입니다. Aₙ⊂A₂₅이려면 √n≤5라고 성급하게 놓기 쉽지만, 5<√n<7인 구간에서도 Aₙ은 여전히 {1, 3, 5}로 그대로입니다. 다음 홀수인 7이 들어오기 직전까지가 허용 범위라는 점을 정확히 잡아야 합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
비교 대상인 A₂₅부터 구체적으로 나열해 보세요. √25=5이므로 A₂₅는 5 이하의 홀수, 즉 원소가 세 개뿐인 유한집합입니다.
그다음 Aₙ이 A₂₅의 부분집합이 되지 못하는 경우가 무엇인지 거꾸로 생각합니다. Aₙ에 A₂₅가 갖고 있지 않은 원소가 단 하나라도 들어가면 포함 관계가 깨집니다. 그런 원소 중 가장 작은 것은 무엇일까요?
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
A₂₅에 없는 홀수 중 가장 작은 것은 7입니다. 따라서 Aₙ⊂A₂₅이려면 7이 Aₙ에 들어가지 않아야 하고, 이는 √n<7이라는 조건과 같습니다.
√n<7의 양변을 제곱하면 n<49입니다. n이 자연수라는 조건까지 붙이면 구하는 최댓값이 곧바로 나옵니다. √n≤5로 잘못 놓으면 답이 25로 어긋나니 주의하세요.
정답 확인
정답 n의 최댓값 = 48
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A집합 A₂₅를 원소나열법으로 나타내기
√25=5이므로 A₂₅={x | x는 5 이하의 홀수}={1, 3, 5}입니다. 비교의 기준이 되는 집합이 원소 세 개짜리 유한집합임을 먼저 확정합니다.
STEP BAₙ⊂A₂₅가 성립하는 n의 범위 구하기
Aₙ이 7 이상의 홀수를 원소로 가지면 안 되므로 √n<7, 즉 n<49입니다. 여기에 n이 자연수라는 조건을 더하면 1≤n<49이고, 따라서 n의 최댓값은 48입니다. 5<√n<7일 때도 Aₙ={1, 3, 5}로 A₂₅와 같아 포함 관계가 성립하므로 √n≤5로 놓지 않도록 주의합니다.
1등급 다른 풀이 · 계단 구간으로 나눠 보기
Aₙ은 √n이 홀수를 하나씩 넘어설 때만 커집니다. 원소가 바뀌는 지점은 홀수의 제곱, 즉 n=1, 9, 25, 49입니다. 구간별로 적어 보면 1≤n<9일 때 Aₙ={1}, 9≤n<25일 때 {1, 3}, 25≤n<49일 때 {1, 3, 5}, n≥49일 때 {1, 3, 5, 7, ⋯}이 됩니다.
A₂₅={1, 3, 5}와 비교하면 앞의 세 구간은 모두 부분집합 조건을 만족하고, n≥49인 구간만 7이 끼어들어 조건이 깨집니다. 결국 허용되는 n의 범위는 1≤n<49이고 최댓값은 48입니다. 부등식을 세우기 전에 구간을 직접 써 보는 이 방법은 경계에서 헷갈릴 여지를 아예 없애 준다는 점에서 검산용으로도 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- √n≤5로 놓는 것이 가장 흔한 실수입니다. 집합이 바뀌는 기준은 A₂₅의 최대 원소 5가 아니라, A₂₅에 없는 첫 홀수인 7입니다.
- 부분집합은 두 집합이 같아도 성립합니다. Aₙ=A₂₅인 구간을 제외하면 답이 25로 줄어듭니다.
- n은 자연수이므로 n<49를 만족하는 최댓값은 49도 48.9도 아닌 48입니다.
- 조건은 ‘√n 이하의 홀수’입니다. 짝수를 함께 넣거나 ‘√n 이하의 자연수’로 읽으면 구간 자체가 달라집니다.
엄선된 풀이 영상
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