TOUGH
원소의 개수 n(A)
이차방정식의 판별식
출제의도
이 문항은 원소의 개수 n(A)를 ‘세는 문제’가 아니라 ‘판별하는 문제’로 바꿀 수 있는지를 묻습니다. 집합 Ak는 어떤 이차방정식의 실근을 모은 집합이므로, n(Ak)는 곧 그 방정식의 서로 다른 실근의 개수, 즉 판별식의 부호가 결정합니다. 원소를 일일이 구할 필요가 전혀 없습니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 k가 1부터 10까지 움직이는 열 개의 집합을 한꺼번에 다뤄야 하기 때문입니다. 열 번 대입해서 세는 학생과, 판별식 하나로 k의 범위를 세 구간으로 잘라 개수를 묶어서 세는 학생의 시간 차이가 크게 벌어지는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
Ak의 원소는 ‘실수’라는 조건이 붙어 있습니다. 따라서 n(Ak)는 이차방정식의 서로 다른 실근의 개수와 같고, 그 값은 0, 1, 2 중 하나뿐입니다. 허근은 원소가 되지 못한다는 점이 이 문제의 출발점입니다.
실근의 개수를 가르는 것은 판별식의 부호입니다. x의 계수가 짝수이므로 D/4를 쓰면 계산이 한결 짧아집니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
판별식을 k에 대한 식으로 정리하면 D/4=k−5라는 아주 단순한 일차식이 나옵니다. 이제 k−5의 부호로 세 경우를 나누세요. 음수이면 실근 0개, 0이면 중근이므로 1개, 양수이면 2개입니다.
각 경우에 해당하는 자연수 k가 1부터 10까지 중 몇 개인지를 세어 (개수)×(원소 수)로 묶어 더합니다. 중근일 때 원소가 2개가 아니라 1개라는 점만 조심하면 마지막 덧셈은 세 항으로 끝납니다.
정답 확인
정답 11
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP An(Ak)의 의미를 실근의 개수로 번역하기
Ak는 이차방정식의 실근을 모은 집합이므로 n(Ak)는 서로 다른 실근의 개수와 같습니다. 즉 구할 것은 근 자체가 아니라 개수뿐이고, 이는 판별식으로 결정됩니다.
STEP B판별식의 부호로 k의 범위를 세 구간으로 나누기
D/4=2²−(−k+9)=k−5입니다. k<5이면 실근이 없어 n(Ak)=0이므로 k=1, 2, 3, 4의 네 개가 여기에 해당합니다. k=5이면 중근이므로 n(A5)=1이고, k>5이면 서로 다른 두 실근을 가지므로 k=6부터 10까지 다섯 개가 각각 2입니다.
STEP C구간별로 묶어서 합 계산하기
0×4+1×1+2×5=11이 됩니다. 열 개의 집합을 하나하나 풀지 않고 세 덩어리로 묶어 더한 것이 핵심입니다.
1등급 다른 풀이 · 포물선과 수평선의 교점으로 보기
방정식을 x²+4x+9=k 꼴로 옮기면, 좌변은 (x+2)²+5이므로 최솟값이 5인 아래로 볼록한 포물선입니다. n(Ak)는 이 포물선과 수평선 y=k의 교점 개수와 같습니다.
따라서 k<5이면 만나지 않아 0개, k=5이면 꼭짓점에서 접해 1개, k>5이면 두 점에서 만나 2개라는 결론이 그림 한 장으로 즉시 나옵니다. 판별식을 세우는 대신 그래프의 높이 비교로 처리하는 방식이며, 뒤에 배울 ‘방정식과 그래프’ 단원에서 반복해서 쓰게 되는 관점입니다.
실수를 줄이는 전략
- 중근일 때 원소의 개수는 1개입니다. 근이 두 개 ‘겹쳤다’고 해서 2로 세면 답이 12가 되어 버립니다. 집합에서는 같은 원소를 중복해 세지 않습니다.
- −k+9 전체가 상수항입니다. 판별식에 대입할 때 부호를 한 번 더 뒤집어야 하므로, 괄호를 살려 −(−k+9)로 적고 정리하세요.
- k는 자연수입니다. k<5의 해가 k=1, 2, 3, 4로 네 개라는 점, 0은 포함되지 않는다는 점을 확인하세요.
- 구하는 것은 n의 합이지 근의 합이 아닙니다. 각 방정식의 근을 구하려고 시작하면 시간이 몇 배로 늘어납니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.