TOUGH
최다빈출 왕중요
원소와 집합의 관계
삼차방정식의 해
출제의도
이 문항은 조건제시법으로 주어진 집합의 정체를 끝까지 확정할 수 있는지를 묻습니다. 집합 A는 어떤 방정식의 실근을 모아 놓은 집합이므로, A의 원소를 안다는 것은 곧 그 방정식을 완전히 푼다는 뜻입니다. 즉 겉모습은 집합 단원이지만 실제 계산은 삼차방정식의 인수분해입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 두 단원의 언어를 왕복해야 하기 때문입니다. ‘2∈A’라는 집합의 표현을 ‘방정식의 해가 2이다’로 번역해 미정계수 a를 먼저 확정하고, 다시 구한 해집합을 ∈, ∉ 기호로 되돌려 다섯 개의 선택지를 하나씩 판정해야 합니다. 계산은 어렵지 않지만 번역 단계에서 한 칸만 미끄러져도 전부 틀립니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
‘2가 집합 A의 원소이다’는 곧 ‘x=2가 그 방정식을 만족한다’는 뜻입니다. 미지의 상수 a가 하나뿐이므로, x=2를 대입하면 a에 대한 일차방정식이 되어 a가 곧바로 확정됩니다.
a를 구했다고 문제가 끝난 것이 아닙니다. 선택지는 A의 다른 원소들까지 묻고 있으므로, a를 대입한 삼차방정식의 해를 모두 구해 A를 원소나열법으로 완성해 두어야 합니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
a를 대입하면 상수항이 10인 삼차식이 됩니다. 인수정리로 f(k)=0이 되는 k를 찾을 때는 상수항 10의 약수 ±1, ±2, ±5, ±10만 시험하면 됩니다. x=1이 곧바로 걸립니다.
조립제법으로 일차식을 떼어내면 남는 이차식은 바로 인수분해됩니다. 세 근을 모두 구해 A를 원소나열법으로 적은 뒤, ①부터 ⑤까지 참·거짓을 표시하며 내려가세요. 이때 묻는 것은 ‘옳지 않은 것’이라는 점을 마지막에 다시 확인해야 합니다.
정답 확인
정답 ④
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A원소 조건으로 미정계수 a 확정하기
2∈A이므로 x=2를 방정식에 대입합니다. 정리하면 a에 대한 일차방정식이 되고 a=2로 확정됩니다. 이제 A는 x³+2x²−13x+10=0의 실근의 집합입니다.
STEP B조립제법으로 삼차방정식 완전히 풀기
f(1)=0이므로 x−1을 인수로 갖습니다. 조립제법으로 나누면 f(x)=(x−1)(x²+3x−10)=(x−1)(x−2)(x+5)가 되어 해는 1, 2, −5입니다. 즉 A={1, 2, −5}입니다.
STEP C∈, ∉ 기호로 다섯 선택지 판정하기
원소나열법으로 확정된 A를 기준으로 ①~⑤를 차례로 확인합니다. 원소의 합은 1+2+(−5)=−2이므로 ②는 참, −5와 2는 원소이고 −1과 3은 원소가 아니므로 −1∈A라고 쓴 선택지만 거짓입니다. 따라서 옳지 않은 것은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 근과 계수의 관계로 나머지 두 근 잡기
a=2를 구한 뒤 조립제법을 쓰지 않고도 나머지 두 근을 잡을 수 있습니다. 삼차방정식 x³+2x²−13x+10=0의 세 근의 합은 −2, 곱은 −10입니다. 세 근의 합이 −2라는 사실만으로 선택지 ②는 인수분해 없이 곧바로 참임을 알 수 있습니다.
여기에 한 근이 2임을 알고 있으므로 나머지 두 근을 α, β라 하면 α+β=−4, αβ=−5입니다. 두 수를 근으로 하는 이차방정식 t²+4t−5=0을 풀면 t=1 또는 t=−5이므로 A={1, 2, −5}가 같은 결과로 나옵니다. 선택지 중 원소의 합만 묻는 문항이라면 첫 줄에서 바로 끝낼 수 있다는 것이 이 접근의 장점입니다.
실수를 줄이는 전략
- a를 구하고 멈추지 마세요. a=2는 중간 결과일 뿐이고, 선택지는 A의 원소 전체를 묻습니다. 집합을 원소나열법으로 적어 놓고 판정을 시작하는 습관이 안전합니다.
- 대입할 때 5a 항을 빠뜨리기 쉽습니다. 상수항에도 a가 들어 있으므로 a가 붙은 항을 모두 모아서 계수를 계산하세요.
- 인수정리로 후보를 찾을 때는 상수항의 약수만 확인하면 됩니다. 아무 수나 대입하며 시간을 쓰지 마세요.
- ‘옳지 않은 것’을 고르는 문항입니다. 참인 선택지를 발견한 순간 답으로 고르는 실수가 이 유형에서 가장 많습니다. 다섯 개 옆에 참·거짓을 모두 표시한 뒤 답을 확정하세요.
엄선된 풀이 영상
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