행복한 일등급문제
2023년 03월 고2 학력평가 29번
대칭이동
평행이동
원의 접선
기울기의 최대·최소
출제의도
이 문항은 겉보기에 ‘점의 이동’ 문제처럼 보이지만, 실제로 묻는 것은 이동한 점이 놓이는 도형을 먼저 확정할 수 있는가입니다. 점 P가 원 위를 움직이면 그 대칭이동한 점 P′도 원 위를 움직이고, 점 Q를 평행이동한 점 Q′도 또 다른 원 위를 움직입니다. 이 번역을 해내는 순간 문제는 ‘두 원 위의 점을 이은 직선의 기울기 범위’라는 익숙한 형태로 바뀝니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 그다음 단계에 있습니다. 기울기의 최솟값과 최댓값을 주었다는 것은 곧 두 원에 동시에 접하는 직선이 그 기울기를 갖는다는 뜻인데, 여기서 접선의 개수가 여럿이라 조건에 맞는 것을 골라내야 합니다. 실제로 마지막에 k의 후보가 둘 나오고, 그중 하나만 ‘최솟값이 0’이라는 조건을 만족합니다. 식을 세우는 힘보다 후보를 걸러내는 판단력을 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
(x₂−x₁)분의 (y₂−y₁)이라는 식을 보고 곧바로 ‘두 점 P′(x₁, y₁), Q′(x₂, y₂)를 지나는 직선의 기울기’로 읽어야 합니다. 그러면 남은 일은 P′과 Q′이 각각 어떤 도형 위를 움직이는지 알아내는 것뿐입니다.
원 (x−6)²+y²=r²을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 x와 y가 서로 바뀌어 x²+(y−6)²=r²이 됩니다. 또 이 원을 x축의 방향으로 k만큼 평행이동하면 (x−k−6)²+y²=r²이 됩니다. 두 원의 중심과 반지름을 각각 적어보세요. 반지름이 둘 다 r로 같다는 점을 꼭 기억해 두세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
P′은 중심 A(0, 6)인 원 C₁ 위를, Q′은 중심 B(k+6, 0)인 원 C₂ 위를 움직입니다. 두 원 위의 점을 하나씩 잡아 이은 직선의 기울기가 가장 커지거나 가장 작아지는 순간은, 그 직선이 두 원에 동시에 접할 때입니다. 최솟값 0과 최댓값 43은 곧 두 개의 공통접선의 기울기입니다.
먼저 기울기가 0인 접선, 즉 x축에 평행한 직선이 두 원에 모두 접하는 그림을 그려보세요. 두 중심의 y좌표가 6과 0이므로 세로 간격 6을 반지름 둘이 채우게 되어 r이 곧바로 나옵니다. 그다음 기울기가 43인 직선을 y=43x+n으로 놓고 점과 직선 사이의 거리 = 반지름을 두 번 적용하면 n과 k가 차례로 결정됩니다. 마지막에 나오는 k의 두 후보 중 어느 쪽이 ‘최솟값 0’을 만족하는지 그림으로 반드시 확인하세요.
정답 확인
정답 |r+k| = 15
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 개의 원으로 번역하기
원 (x−6)²+y²=r²을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원을 C₁이라 하면 C₁ : x²+(y−6)²=r²이므로 중심은 A(0, 6), 반지름은 r입니다. 점 P를 y=x에 대하여 대칭이동한 점 P′은 이 원 C₁ 위의 점입니다.
또 같은 원을 x축의 방향으로 k만큼 평행이동한 원을 C₂라 하면 C₂ : (x−k−6)²+y²=r²이므로 중심은 B(k+6, 0), 반지름은 역시 r입니다. 점 Q를 평행이동한 점 Q′은 원 C₂ 위의 점입니다. 따라서 구하는 식의 값은 원 C₁ 위의 점과 원 C₂ 위의 점을 이은 직선 P′Q′의 기울기입니다.
STEP B최솟값 0에서 반지름 r 구하기
기울기가 0보다 작아질 수 없다는 것은, 기울기가 0인 직선이 두 원에 모두 접하면서 그 아래로는 내려갈 수 없다는 뜻입니다. 즉 x축에 평행한 직선 하나가 원 C₁에는 아래쪽에서, 원 C₂에는 위쪽에서 접합니다.
두 중심 A(0, 6)과 B(k+6, 0)의 y좌표 차이가 6이고, 이 간격을 두 원의 반지름이 나란히 채우므로 r+r=2r=6, 따라서 r=3입니다.
STEP C최댓값 4/3에서 접선 l 결정하기
기울기의 최댓값이 43이므로 기울기가 43인 직선 l도 두 원에 동시에 접합니다. l : y=43x+n, 즉 4x−3y+3n=0으로 놓습니다.
원 C₁에 접하므로 중심 A(0, 6)에서 l까지의 거리가 3입니다.
C₁ 접선 조건 — |−18+3n|÷5=3에서 |−18+3n|=15이므로 n=11 또는 n=1입니다. 그림에서 l의 y절편이 원 C₁의 중심의 y좌표보다 위에 있어야 하므로 n>6, 즉 n=11이고 l : 4x−3y+33=0입니다.
C₂ 접선 조건 — 중심 B(k+6, 0)에서 l까지의 거리도 3이므로 |4(k+6)+33|÷5=3, 즉 |4k+57|=15입니다. 따라서 k=−212 또는 k=−18이 후보로 나옵니다.
STEP Dk를 걸러내고 |r+k| 구하기
두 후보 중 하나만 살아남습니다. 기준은 ‘기울기의 최솟값이 0’이라는 조건입니다. 원 C₂가 원 C₁보다 충분히 왼쪽에 있지 않으면 두 원 위의 점을 이은 직선의 기울기가 음수가 되어 최솟값이 0이 될 수 없습니다.
원 C₂의 중심의 x좌표가 −6보다 작을 때, 즉 k+6<−6에서 k<−12일 때만 기울기의 최솟값이 0이 됩니다. 따라서 k=−18입니다.
r=3, k=−18이므로 |r+k|=|3+(−18)|=|−15|=15입니다.
1등급 다른 풀이 · 중점을 지나는 내부 공통접선으로 읽기
두 원의 반지름이 똑같이 r이라는 사실을 적극적으로 쓰면 계산이 훨씬 짧아집니다.
반지름이 같은 두 원의 공통접선 중, 두 원 사이를 가르는 접선(내부 공통접선)은 항상 두 중심의 중점을 지납니다. 그런데 기울기의 최댓값과 최솟값을 주는 직선이 바로 이 내부 공통접선이므로, 두 접선 모두 중점 M을 지납니다. A(0, 6)과 B(k+6, 0)의 중점은 M(k+62, 3)이고, y좌표가 k와 무관하게 항상 3이라는 점이 핵심입니다.
먼저 기울기 0인 접선은 M을 지나는 가로선, 곧 y=3입니다. 중심 A(0, 6)에서 이 직선까지의 거리가 |6−3|=3이고 이것이 반지름이므로 그림을 그리지 않고도 r=3이 나옵니다.
다음으로 기울기 43인 접선은 M을 지나므로 y−3=43(x−m) (단, m=k+62), 즉 4x−3y+(9−4m)=0입니다. 중심 A(0, 6)에서의 거리가 3이라는 식 |−18+9−4m|÷5=3에서 |4m+9|=15이므로 m=32 또는 m=−6, 즉 k=−3 또는 k=−18을 얻습니다.
마지막 선택도 기하적으로 끝납니다. 두 원 위의 점을 이은 직선의 기울기는 중심을 이은 직선 AB의 기울기를 한가운데 두고 퍼지므로, 최솟값 0과 최댓값 43 사이에 AB의 기울기가 들어와야 합니다. AB의 기울기는 −6÷(k+6)이므로 k=−3이면 −2가 되어 범위 밖이고, k=−18이면 12가 되어 0과 43 사이에 정확히 들어옵니다. 따라서 k=−18이고 |r+k|=15입니다.
실수를 줄이는 전략
- 분수 꼴의 식을 보면 먼저 기울기로 번역하세요. (y₂−y₁)÷(x₂−x₁)을 그대로 두고 좌표를 대입하려 들면 미지수만 늘어납니다. 단서 x₁≠x₂도 ‘두 점을 지나는 직선이 세로선이 아니다’라는 뜻의 안내입니다.
- 대칭이동과 평행이동은 점이 아니라 도형에 적용하는 편이 빠릅니다. 점 P를 옮긴 점이 어디 있는지 좌표로 쫓지 말고, 원 전체를 옮겨 새 원의 중심과 반지름을 적어두세요.
- 기울기의 최대·최소는 곧 공통접선입니다. 최댓값·최솟값이 주어졌다면 ‘접한다’로 바꾸고, 접선 조건은 반드시 중심과 직선 사이의 거리 = 반지름으로 처리하세요.
- 절댓값 방정식에서 나온 두 근을 둘 다 답으로 쓰지 마세요. 이 문항에서 n은 두 개, k도 두 개가 나오지만 조건을 만족하는 것은 각각 하나뿐입니다. 그림에서 접선이 원의 어느 쪽에 놓이는지, 원 C₂가 어디에 있어야 기울기가 음수가 되지 않는지를 확인해야 합니다.
- 마지막에 묻는 것이 k나 r이 아니라 |r+k|임을 놓치지 마세요. r=3, k=−18에서 부호를 그대로 더해 −15를 답으로 적거나 절댓값을 빠뜨리는 실수가 잦습니다.
엄선된 풀이 영상
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