TOUGH
최다빈출 왕중요
부분집합의 포함관계
절댓값 부등식
출제의도
이 문항은 세 집합이 사슬처럼 이어진 A⊂B⊂C 조건을 수직선 위의 위치 관계로 옮길 수 있는지를 묻습니다. 세 집합 모두 부등식으로 주어져 있으므로, 먼저 각각을 구간으로 바꾼 뒤 ‘안쪽 구간이 바깥쪽 구간에 완전히 들어간다’는 그림을 그리는 것이 전부입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 등호의 처리 때문입니다. A는 양 끝을 포함하는 닫힌구간, B는 절댓값 부등식이 만든 열린구간, C는 한쪽만 닫힌 구간입니다. 경계에서 포함 여부가 갈리므로 a>3인지 a≥3인지, a≤9인지 a<9인지가 답을 통째로 바꿉니다. 마지막에 자연수 a의 합을 묻는 것도 경계 판단을 검증하려는 장치입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
세 집합을 모두 구간으로 바꾸는 것이 첫 단계입니다. 이차부등식은 인수분해해서 해를 구하고, 절댓값 부등식 |x|<a는 −a<x<a로 풉니다. 이때 a는 자연수이므로 양수라는 점이 전제로 깔려 있습니다.
A⊂B⊂C는 두 개의 포함관계를 동시에 요구합니다. A⊂B에서 나오는 조건과 B⊂C에서 나오는 조건을 따로 구한 뒤 공통부분을 잡으세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
수직선을 하나 그리고 A를 가장 안쪽, B를 그 바깥, C를 가장 바깥에 놓습니다. A의 오른쪽 끝 3이 B 안에 들어가야 하는데 B는 끝점을 포함하지 않으므로 3<a여야 합니다. a=3이면 3이 B에서 빠져 A⊂B가 깨집니다.
반대쪽에서는 B의 오른쪽 끝 a가 C를 넘지 않아야 합니다. C는 9를 포함하므로 a=9까지 허용됩니다. 두 조건을 합쳐 a의 범위를 정한 뒤, 그 안의 자연수를 모두 더하면 됩니다.
정답 확인
정답 ⑤
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A세 집합을 구간으로 바꾸기
x²−9≤0에서 (x+3)(x−3)≤0이므로 A={x|−3≤x≤3}입니다. |x|<a에서 B={x|−a<x<a}이고, C={x|x≤9}입니다. A는 닫힌구간, B는 열린구간이라는 차이를 표시해 두세요.
STEP B수직선 위에서 a의 범위 구하기
A⊂B이려면 −a<−3이고 3<a여야 하며, 두 조건은 모두 a>3으로 같습니다. B⊂C이려면 B의 오른쪽 끝이 9를 넘지 않아야 하므로 a≤9입니다. 따라서 3<a≤9입니다.
STEP C범위 안의 자연수를 모두 더하기
3<a≤9를 만족하는 자연수는 4, 5, 6, 7, 8, 9이고 그 합은 39입니다. 4부터 세기 시작하는지 3부터인지, 9를 포함하는지가 이 문항의 승부처입니다.
1등급 다른 풀이 · 구간의 폭을 최댓값 비교로 처리하기
세 집합이 모두 원점을 중심으로 하거나 한쪽으로만 열린 구간이므로, 그림을 그리지 않고 ‘가장 바깥 값’만 비교해도 됩니다. A에 속하는 x의 절댓값의 최댓값은 3이고, B는 |x|<a인 x의 모임입니다. A⊂B는 곧 3<a와 같은 말입니다.
같은 방식으로 B에 속하는 x가 가질 수 있는 값은 a에 한없이 가까워지지만 a에는 도달하지 못하므로, B⊂C는 a≤9와 같습니다. 부등호가 등호를 포함하는 쪽이 A에서는 안쪽, C에서는 바깥쪽이라는 점이 3<a≤9라는 비대칭적인 답을 만듭니다. 경계 판정을 그림 없이 논리로 확인하고 싶을 때 유용한 접근입니다.
실수를 줄이는 전략
- a=3을 넣어 직접 확인해 보세요. B={x|−3<x<3}이 되어 A의 끝점 3이 B에서 빠집니다. 경계값은 항상 대입해서 검산하는 것이 가장 빠릅니다.
- a=9도 마찬가지로 확인합니다. B={x|−9<x<9}는 C={x|x≤9}에 그대로 들어가므로 9는 답에 포함됩니다. 한쪽은 등호를 빼고 한쪽은 넣는 이 비대칭이 이 문항의 핵심입니다.
- |x|<a를 x<a로만 처리하면 왼쪽 조건이 사라집니다. 절댓값 부등식은 반드시 −a<x<a로 양쪽을 함께 적으세요.
- 구하는 것은 a의 개수가 아니라 값의 합입니다. 6개라고 답하면 선택지에는 없는 값이 나옵니다. 마지막 한 줄에서 문제 문장을 다시 읽는 습관을 들이세요.
엄선된 풀이 영상
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