행복한 일등급문제
2024년 10월 고1 학력평가 21번
원의 대칭이동
최단거리
수직이등분선
출제의도
이 문항은 원 위를 움직이는 점, 좌표축 위를 움직이는 점, 그리고 그 점을 대칭이동한 점까지 세 종류의 움직이는 대상을 한꺼번에 다룹니다. 세 개의 [보기]가 난이도 순으로 배치되어 있어, ㄱ에서 얻은 결론을 ㄴ이, ㄴ에서 세운 틀을 ㄷ이 그대로 이어받는 계단형 구조가 특징입니다.
핵심 도구는 두 가지뿐입니다. 하나는 ‘대칭이동은 길이를 보존한다’, 다른 하나는 ‘원 밖의 점에서 원 위의 점까지 가장 짧은 거리는 (중심까지의 거리) − (반지름)’입니다. 21번에 배치된 이유는 도구가 어려워서가 아니라, ㄷ에서 조건식을 좌표 계산으로 밀어붙이지 않고 거리가 같다 → 수직이등분선 위에 있다로 번역해 낼 수 있는지를 묻기 때문입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 두 원의 중심과 반지름을 정리하세요. C₁은 중심 O₁(2, 6), 반지름 1이고 C₂는 중심 O₂(6, 4), 반지름 3입니다.
ㄱ은 두 점 A(4, 2), A′(4, −2)가 x축에 대하여 대칭이라는 사실만 보면 됩니다. R과 R′도 x축에 대하여 대칭이므로 선분 AR과 A′R′은 통째로 x축 대칭 관계입니다.
ㄴ부터가 본론입니다. AR+PR′에서 두 항의 기준점이 R과 R′로 갈라져 있으니, 이것을 한쪽으로 통일해야 합니다. ㄱ에서 AR=A′R′임을 얻었으니 R′ 쪽으로 모으면 되겠지요. 그다음 P는 y축 대칭을 이용해 옮겨보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
P를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 P′이라 하면 P′은 원 C₁을 y축 대칭이동한 원 C₁′ (중심 O₁′(−2, 6), 반지름 1) 위를 움직이고, R′이 y축 위에 있으므로 PR′=P′R′입니다. 그러면 AR+PR′=A′R′+R′P′이 되어, 두 점 A′과 원 C₁′ 사이를 잇는 경로 하나로 바뀝니다.
이때 A′R′+R′P′+P′O₁′ ≥ A′O₁′이고 P′O₁′=1(반지름)이므로 최솟값은 A′O₁′−1입니다. ㄷ도 완전히 같은 틀입니다. B를 x축 대칭한 B′에 대하여 두 최솟값이 각각 B′O₁′−1, B′O₂′−3이므로, 주어진 조건을 대입하면 반지름 차 2가 상쇄되면서 B′O₁′=B′O₂′이라는 한 줄이 남습니다. 여기서 수직이등분선을 떠올리세요.
정답 확인
정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A기본 정보 정리와 ㄱ의 참·거짓
두 원의 중심과 반지름은 O₁(2, 6), r₁=1과 O₂(6, 4), r₂=3입니다. 두 원을 y축에 대하여 대칭이동한 원을 C₁′, C₂′이라 하면 중심은 각각 O₁′(−2, 6), O₂′(−6, 4)이고 반지름은 그대로입니다.
ㄱ에서 A(4, 2)와 A′(4, −2)는 x축에 대하여 대칭이고, R(y축 위)과 R′도 x축에 대하여 대칭입니다. 두 선분 AR, A′R′이 통째로 x축 대칭이므로 AR=A′R′ [참]입니다. R(0, a)로 두고 직접 계산해도 두 길이가 모두 √(a²−4a+20)으로 같음을 확인할 수 있습니다.
STEP Bㄴ · 두 대칭이동으로 경로를 한 줄로 펴기
ㄱ에 의해 AR=A′R′이고, 두 선분 PR′, P′R′은 y축에 대하여 대칭이므로 PR′=P′R′입니다. 따라서
AR+PR′ = A′R′+P′R′ = (A′R′+R′P′+P′O₁′) − 1
이고, A′R′+R′P′+P′O₁′의 값은 두 점 R′, P′이 선분 A′O₁′ 위에 있을 때 최소가 되어 그 값은 A′O₁′입니다. A′(4, −2), O₁′(−2, 6)이므로
A′O₁′ − 1 = √{(4−(−2))² + (−2−6)²} − 1 = √(36+64) − 1 = 10 − 1 = 9 [참]
STEP Cㄷ · 조건식을 수직이등분선으로 번역
ㄴ과 같은 방법으로, B를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 하면
(BR+PR′의 최솟값) = B′O₁′ − 1, (BS+QS′의 최솟값) = B′O₂′ − 3
주어진 조건에 대입하면 B′O₁′ − 1 = (B′O₂′ − 3) + 2, 즉 B′O₁′ = B′O₂′입니다. 점 B′에서 두 점 O₁′, O₂′까지의 거리가 같으므로 B′은 선분 O₁′O₂′의 수직이등분선 위에 있습니다.
O₁′(−2, 6), O₂′(−6, 4)이므로 중점은 (−4, 5)이고 직선 O₁′O₂′의 기울기는 4−6−6−(−2)=12입니다. 따라서 수직이등분선은 점 (−4, 5)를 지나고 기울기가 −2인 직선 y=−2x−3입니다.
B(a, 6a+1)이므로 B′(a, −6a−1)이고, 이 점이 위 직선 위에 있으므로 −6a−1=−2a−3에서 a=12입니다. 즉 B(12, 4)이고
OB = √{(12)² + 4²} = √652 [참] — 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두입니다.
1등급 다른 풀이 · B′ 대신 B를 그대로 두고 풀기
ㄷ에서 마지막에 B′(a, −6a−1)을 직선 y=−2x−3에 대입하는 대신, 처음부터 B가 움직이는 직선으로 생각하면 대입 과정이 한 번 줄어듭니다.
B(a, 6a+1)은 직선 y=6x+1 위를 움직이는 점입니다. 그런데 B′은 B를 x축 대칭한 점이므로, B′은 직선 y=6x+1을 x축 대칭이동한 직선 y=−6x−1 위를 움직입니다. 조건에서 B′이 직선 y=−2x−3 위에도 있어야 하므로, B′은 두 직선의 교점입니다.
거꾸로 읽으면 더 간단합니다. B′이 직선 y=−2x−3 위에 있다는 것은 B가 그 직선을 x축 대칭한 직선 y=2x+3 위에 있다는 뜻입니다. 따라서 B는 y=6x+1과 y=2x+3의 교점이고, 6a+1=2a+3에서 a=12, 곧바로 B(12, 4)를 얻습니다.
대칭이동을 ‘점 하나’가 아니라 ‘도형 전체’에 걸어서 읽는 습관을 들이면, 이렇게 마지막 미지수 처리를 교점 계산 한 줄로 줄일 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 원 위의 점까지의 최단거리에서 반지름 빼는 것을 잊지 마세요. 최솟값은 중심까지의 거리 그 자체가 아니라 A′O₁′−1처럼 반지름을 뺀 값입니다. ㄴ에서 10을 답으로 적으면 그대로 오답입니다.
- 대칭축이 x축과 y축 두 개나 등장합니다. 어느 점을 어느 축에 대칭시켰는지를 표로 정리하며 푸세요. R, S는 y축 위의 점이지만 R′, S′은 x축 대칭으로 만든 점이라 헷갈리기 쉽습니다.
- ㄷ의 조건에 붙은 +2가 반지름 차 3−1과 정확히 상쇄되도록 설계되어 있습니다. 이 상쇄를 놓치면 B′O₁′−1=B′O₂′−1 같은 식으로 잘못 정리해 엉뚱한 직선이 나옵니다. 두 반지름을 각각 정확히 빼고 시작하세요.
- 수직이등분선을 세울 때는 중점과 수직 기울기 두 가지가 모두 필요합니다. 기울기 12의 수직은 −2이지, −12가 아닙니다. 곱해서 −1이 되는지 한 번 더 확인하세요.
- 마지막에 묻는 것은 OB이지 OB′이 아닙니다. 다행히 이 문항에서는 두 값이 같지만, B′의 좌표 (12, −4)를 그대로 쓰는 습관은 다른 문항에서 사고로 이어집니다. 답을 적기 전에 무엇을 묻는지 다시 읽는 것이 가장 확실한 예방책입니다.
엄선된 풀이 영상
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