행복한 일등급문제
2019년 09월 고1 학력평가 16번
직선 y=x에 대한 대칭
점과 직선 사이의 거리
삼각형의 넓이
출제의도
이 문항은 직선 y=x에 대한 대칭이동으로 얻은 점 A′과 원래의 점 A를 각각 꼭짓점으로 하는 두 삼각형의 넓이 비를 다룹니다. 대칭이동 자체는 좌표를 맞바꾸는 한 줄이면 끝나므로, 실제 난이도는 넓이 조건을 어떻게 식으로 옮기느냐에 달려 있습니다.
핵심은 두 삼각형이 꼭짓점 C(0, k)를 공유한다는 점입니다. 밑변을 AB와 A′B로 잡으면 높이는 각각 점 C에서 두 직선까지의 거리가 되고, 넓이 조건이 곧 거리 조건으로 바뀝니다. 여기에 절댓값 방정식을 두 경우로 나누어 풀고, 조건 (가) 0<k<3으로 걸러내는 마무리까지 요구합니다. 대칭이동·직선의 방정식·점과 직선 사이의 거리를 한 문항에 엮은 통합형 문제입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 A′을 구하세요. 직선 y=x에 대한 대칭이동은 x좌표와 y좌표를 서로 바꾸는 것이므로 A(2, 4) → A′(4, 2)입니다.
이제 두 삼각형 ACB와 A′BC를 보면 꼭짓점 C가 공통입니다. 그렇다면 각각의 밑변을 AB와 A′B로 잡는 것이 자연스럽고, 이때 높이는 점 C에서 직선 AB, A′B까지의 거리가 됩니다. 넓이 조건을 쓰려면 두 직선의 방정식부터 구해야겠지요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직선 AB는 x−2y+6=0, 직선 A′B는 2x−y−6=0입니다. 여기서 한 가지 확인하고 넘어가세요. 두 밑변의 길이 AB와 A′B가 모두 2√5로 같습니다. 밑변이 같으니 넓이가 2배라는 조건은 곧 높이가 2배라는 조건이 됩니다.
따라서 (점 C에서 직선 A′B까지의 거리) = 2 × (점 C에서 직선 AB까지의 거리)를 세우면 됩니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰면 분모의 √5가 양변에서 약분되어 절댓값 방정식 |−k−6| = 2|−2k+6|만 남습니다. 두 경우로 나누어 풀고, 조건 (가)를 만족하는 값만 남기세요.
정답 확인
정답 ③ k = 65
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 직선 AB, A′B의 방정식 구하기
두 점 A(2, 4), B(6, 6)을 지나는 직선은 y−4=6−46−2(x−2), 즉 y=12x+3이므로 x−2y+6=0입니다.
점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 좌표가 서로 바뀌어 A′(4, 2)입니다. 두 점 A′(4, 2), B(6, 6)을 지나는 직선은 y−2=6−26−4(x−4), 즉 y=2x−6이므로 2x−y−6=0입니다.
STEP B넓이 조건을 거리 조건으로 바꾸기
두 삼각형은 꼭짓점 C(0, k)를 공유하므로
(삼각형 ACB의 넓이) = 12 × AB × (점 C에서 직선 AB까지의 거리)
(삼각형 A′BC의 넓이) = 12 × A′B × (점 C에서 직선 A′B까지의 거리)
이때 AB=√(4²+2²)=2√5, A′B=√(2²+4²)=2√5로 두 밑변의 길이가 같습니다. 따라서 조건 (나)는 다음과 같이 거리만의 관계로 정리됩니다.
(C에서 A′B까지의 거리) = 2 × (C에서 AB까지의 거리)
STEP C절댓값 방정식을 풀고 조건 (가)로 거르기
점과 직선 사이의 거리 공식을 적용하면
|−k−6|√(2²+(−1)²) = |−2k+6|√(1²+(−2)²) × 2
양변의 분모가 모두 √5이므로 약분되어 |−k−6| = 2|−2k+6|이 됩니다. 절댓값을 벗기면
−k−6 = −4k+12 또는 −k−6 = 4k−12
앞의 식에서 3k=18, 즉 k=6이고 뒤의 식에서 5k=6, 즉 k=65입니다. 조건 (가)에서 0<k<3이므로 k=6은 버려지고 k=65만 남습니다.
1등급 다른 풀이 · 좌표로 넓이를 직접 계산하기
직선의 방정식을 두 개나 구하는 것이 번거롭다면, 세 꼭짓점의 좌표만으로 넓이를 바로 계산하는 방법이 있습니다. 세 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는
12|x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|
입니다. 이를 그대로 적용해 봅시다. 삼각형 ACB는 A(2, 4), C(0, k), B(6, 6)이므로
12|2(k−6) + 0(6−4) + 6(4−k)| = 12|12−4k| = 6−2k (∵ 0<k<3)
삼각형 A′BC는 A′(4, 2), B(6, 6), C(0, k)이므로
12|4(6−k) + 6(k−2) + 0(2−6)| = 12|12+2k| = 6+k
조건 (나)에서 6+k = 2(6−2k)이므로 6+k = 12−4k, 즉 5k=6에서 k=65를 곧바로 얻습니다. 조건 (가) 덕분에 절댓값이 처음부터 벗겨져 경우를 나눌 필요조차 없다는 점이 이 풀이의 장점입니다.
실수를 줄이는 전략
- 직선 y=x에 대한 대칭은 x좌표와 y좌표를 맞바꾸는 것입니다. A(2, 4)의 대칭점은 A′(4, 2)이지 (−2, −4)나 (2, −4)가 아닙니다. 세 종류의 대칭(x축, y축, y=x)을 한 줄로 정리해 외워두세요.
- 밑변을 무엇으로 잡을지 먼저 정하세요. 공통 꼭짓점 C를 밑변이 아닌 대꼭짓점으로 두어야 높이가 ‘점과 직선 사이의 거리’로 깔끔하게 떨어집니다.
- AB와 A′B의 길이가 같다는 사실을 반드시 확인하고 넘어가세요. 이 확인 없이 넓이 비를 곧장 거리 비로 바꾸면 논리가 비게 됩니다. 우연이 아니라 대칭이동이 길이를 보존하고 B가 직선 y=x 위의 점이기 때문에 생기는 결과입니다.
- 절댓값 방정식은 두 경우를 모두 풀어야 합니다. |X|=|Y|에서 X=Y와 X=−Y 두 가지가 나오는데, 한쪽만 풀고 끝내면 k=6만 얻어 선지에 없는 답에서 헤매게 됩니다.
- 마지막에 조건 (가)로 거르는 단계를 빠뜨리지 마세요. 이 문항에서 조건 (가)는 장식이 아니라 두 근 중 하나를 지정하는 결정적 장치입니다. 조건이 여러 개인 문제는 다 푼 뒤 각 조건을 하나씩 대입해 검산하는 습관이 안전합니다.
엄선된 풀이 영상
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