행복한 일등급문제
2018년 11월 고1 학력평가 19번
대칭이동
최단거리
평행이동
출제의도
이 문항은 꺾인 경로의 길이 AP+PR+RQ+QB를 최소로 만드는 전형적인 최단거리 문제입니다. 다만 꺾이는 점이 세 개(P, Q는 x축 위, R은 직선 y=1 위)이고, 그중 두 점이 같은 직선 위에 있다는 점에서 한 번의 대칭이동으로는 끝나지 않습니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 대칭이동을 어디에 걸 것인가를 스스로 설계해야 하기 때문입니다. 움직이는 점 P, Q, R 중 무엇을 먼저 처리하느냐에 따라 풀이가 두세 배 길어지거나, 반대로 한 줄로 끝나기도 합니다. 대칭이동과 평행이동이 길이를 보존한다는 성질을 도구로 쓸 줄 아는지, 그리고 ‘세 점이 한 직선 위에 있을 때 최소’라는 원리를 반복 적용할 수 있는지를 함께 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
P와 Q는 둘 다 x축 위의 점입니다. 그렇다면 이 두 점을 각각 따로 처리할 것이 아니라, x축을 대칭축으로 한 번만 쓰면 두 점을 동시에 처리할 수 있지 않을까요?
R의 좌표를 (a, 1)로 두고, R을 x축에 대하여 대칭이동한 점 R′(a, −1)을 잡아보세요. 이때 PR=PR′, RQ=R′Q가 성립합니다. 네 개의 선분 중 두 개가 R′ 쪽으로 옮겨지면, 남는 것은 A→P→R′와 R′→Q→B라는 두 개의 꺾인 경로뿐입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AP+PR′≥AR′, R′Q+QB≥R′B이므로 구하는 최솟값은 결국 AR′+R′B의 최솟값과 같습니다. 이제 문제는 ‘직선 y=−1 위를 움직이는 점 R′에 대하여 AR′+R′B를 최소로 하라’로 바뀌었습니다.
여기서부터는 익숙한 상황입니다. 직선 하나 위의 점을 지나는 두 선분의 합이므로, A와 B 중 하나를 그 직선에 대하여 대칭이동시키면 됩니다. 교재 해설은 세 점을 y축 방향으로 1만큼 평행이동시켜 x축 대칭으로 바꾸는 방법을 택했습니다. 어느 쪽이든 마지막에는 두 점 사이의 거리 한 번으로 답이 나옵니다.
정답 확인
정답 ④ 최솟값 = 9√2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP AR을 x축에 대칭이동하여 네 선분을 두 덩어리로 묶기
점 R은 직선 y=1 위에 있으므로 R(a, 1)로 두고, R을 x축에 대하여 대칭이동한 점을 R′(a, −1)이라 합니다. 대칭이동은 길이를 보존하므로 PR=PR′, RQ=R′Q입니다. 따라서
AP+PR = AP+PR′ ≥ AR′ (A, P, R′이 한 직선 위에 있을 때 최소)
RQ+QB = R′Q+QB ≥ R′B (B, Q, R′이 한 직선 위에 있을 때 최소)
즉 AP+PR+RQ+QB의 최솟값은 AR′+R′B의 최솟값과 같아집니다.
STEP B평행이동과 대칭이동으로 AR′+R′B를 한 선분으로 펴기
세 점 A(−4, 4), B(5, 3), R′(a, −1)을 y축 방향으로 1만큼 평행이동한 점을 각각 A′, B′, R″이라 하면 A′(−4, 5), B′(5, 4), R″(a, 0)이고, 평행이동 역시 길이를 보존하므로 AR′+R′B = A′R″+R″B′입니다.
이제 R″은 x축 위의 점이므로 B′을 x축에 대하여 대칭이동한 점 B″(5, −4)를 잡으면 R″B′=R″B″이고,
A′R″+R″B′ = A′R″+R″B″ ≥ A′B″ — 세 점 A′, R″, B″이 한 직선 위에 있을 때 최소가 됩니다.
STEP C최솟값 계산
두 점 A′(−4, 5)와 B″(5, −4) 사이의 거리는
A′B″ = √{(5−(−4))² + (−4−5)²} = √(81+81) = 9√2
따라서 AP+PR+RQ+QB의 최솟값은 9√2입니다.
1등급 다른 풀이 · 대칭 한 번으로 끝내기
STEP B의 ‘평행이동 후 x축 대칭’은 두 단계를 거치지만, 사실 직선 y=−1에 대한 대칭이동 한 번이면 충분합니다.
STEP A에서 문제는 이미 ‘직선 y=−1 위의 점 R′에 대하여 AR′+R′B를 최소로 하라’로 바뀌었습니다. 그렇다면 점 A(−4, 4)를 직선 y=−1에 대하여 대칭이동한 점 A*(−4, −6)을 잡으면 AR′=A*R′이므로
AR′+R′B = A*R′+R′B ≥ A*B = √{(5−(−4))² + (3−(−6))²} = √(81+81) = 9√2
로 곧바로 답이 나옵니다. 직선 y=k에 대한 대칭이동은 y좌표를 2k−y로 바꾸는 것이므로, 4 → 2(−1)−4 = −6이 됩니다. 평행이동을 거치지 않고도 쓸 수 있는 도구이니 익혀두면 시간이 크게 절약됩니다.
참고로 등호가 성립할 때의 좌표까지 확인해 보면 R′(1, −1), 즉 R(1, 1)이고 P(0, 0), Q(2, 0)입니다. 실제로 AP=4√2, PR=√2, RQ=√2, QB=3√2로 합이 정확히 9√2가 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 대칭이동시킬 점은 움직이는 점입니다. 고정점 A, B를 먼저 대칭시키려 들면 P, Q, R이 그대로 남아 정리가 되지 않습니다. 같은 직선(x축) 위에 있는 P, Q를 한꺼번에 처리하려면 그 사이에 낀 R을 x축에 대칭시켜야 합니다.
- 대칭이동과 평행이동은 길이를 보존합니다. 이 성질이 있기에 도중에 점을 옮겨도 합의 값이 변하지 않습니다. 반대로 닮음이나 확대·축소를 섞으면 이 논리가 무너지니 주의하세요.
- ‘세 점이 한 직선 위에 있을 때 최소’라는 등호 조건을 매번 명시하세요. 부등식만 나열하고 등호 성립을 확인하지 않으면, 실제로 도달할 수 없는 값을 최솟값으로 답하는 경우가 생깁니다.
- 대칭이동 후 좌표의 부호를 반드시 다시 확인하세요. B′(5, 4)를 x축 대칭하면 B″(5, −4)이지 (−5, 4)가 아닙니다. x축 대칭은 y좌표만, y축 대칭은 x좌표만 부호가 바뀝니다.
- 선지가 12, 5√6, 2√39, 9√2, 2√42로 모두 비슷한 크기입니다. 근사값으로 비교하면 헷갈리므로 √144, √150, √156, √162, √168처럼 루트 안으로 통일해 비교하는 습관을 들이세요.
엄선된 풀이 영상
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