행복한 일등급문제
평행이동 + 삼각형의 내접원 융합
평행이동
삼각형의 내접원
원의 방정식 일반형
출제의도
이 문항은 도형의 이동과 원의 방정식을 하나로 묶은 융합 문제입니다. 이동한 삼각형 O′A′B′에 내접하는 원을 직접 구하려 들면 세 변의 직선 방정식을 모두 세우고 거리 조건을 세 번 써야 해서 계산이 크게 불어납니다.
출제자가 요구하는 태도는 다른 쪽입니다. 평행이동은 도형의 모양과 크기를 바꾸지 않는다는 성질을 먼저 떠올리면, 삼각형 O′A′B′의 내접원은 삼각형 OAB의 내접원을 똑같이 평행이동한 원일 뿐입니다. 그러면 좌표가 깔끔한 원래 삼각형에서 내접원을 구한 뒤 중심만 옮기면 끝납니다. 여기에 마지막 한 단계, 표준형을 일반형으로 전개해서 a, b, c를 읽어내는 작업이 붙습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
주어진 것은 대응하는 두 점 A(4, 0)과 A′(9, 2)뿐입니다. 이 한 쌍만으로 평행이동의 방향과 크기가 완전히 결정됩니다. x좌표와 y좌표가 각각 얼마씩 늘었는지 계산해 보세요.
그다음이 핵심 발상입니다. 삼각형 O′A′B′는 삼각형 OAB를 통째로 옮긴 것이므로, 두 삼각형의 내접원도 같은 이동만큼 옮겨진 관계입니다. 이동한 삼각형 쪽에서 씨름하지 말고, 좌표가 예쁜 원래 삼각형 OAB의 내접원부터 구하세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
삼각형 OAB는 두 변이 x축과 y축 위에 놓인 직각삼각형입니다. 내접원이 x축과 y축에 모두 접하고 제1사분면에 있으므로 반지름을 r이라 하면 중심은 자연스럽게 (r, r)입니다. 미지수가 하나로 줄어드는 지점입니다.
남은 조건은 빗변 AB에도 접한다는 것 하나뿐입니다. 두 점 (4, 0), (0, 3)을 지나는 직선을 3x+4y−12=0으로 정리하고, 중심에서 이 직선까지의 거리 = r을 세우세요. 절댓값을 벗길 때는 내접원이므로 0<r<3이라는 범위를 근거로 삼습니다. r를 구했으면 중심을 이동시키고, 마지막에 표준형을 전개해 a, b, c를 뽑아냅니다.
정답 확인
정답 a+b+c = 26
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A평행이동의 크기 파악
점 A(4, 0)이 점 A′(9, 2)로 옮겨졌으므로 x축 방향으로 9−4=5만큼, y축 방향으로 2−0=2만큼 평행이동한 것입니다. 따라서 O(0, 0)→O′(5, 2), B(0, 3)→B′(5, 5)가 됩니다.
STEP B삼각형 OAB의 내접원 구하기
내접원은 제1사분면에서 x축과 y축에 동시에 접하므로 반지름을 r(0<r<3)이라 하면 중심은 (r, r), 방정식은 (x−r)²+(y−r)²=r²입니다.
빗변 조건 — 두 점 A(4, 0), B(0, 3)을 지나는 직선 AB는 3x+4y−12=0입니다. 중심 (r, r)에서 이 직선까지의 거리가 r이므로 |3r+4r−12| ÷ 5 = r, 즉 |7r−12| = 5r
절댓값 처리 — 7r−12=5r 또는 7r−12=−5r이므로 r=6 또는 r=1입니다. 내접원은 가장 짧은 변보다 반지름이 작아야 하므로 0<r<3, 따라서 r=1
따라서 삼각형 OAB의 내접원은 (x−1)²+(y−1)²=1입니다.
STEP C원을 이동시키고 일반형으로 전개
평행이동해도 반지름은 그대로이므로, 중심 (1, 1)만 x축 방향 5, y축 방향 2만큼 옮기면 중심 (6, 3), 반지름 1인 원 (x−6)²+(y−3)²=1을 얻습니다.
이를 전개하면 x²−12x+36 + y²−6y+9 − 1 = 0, 즉 x²+y²−12x−6y+44=0이므로 a=−12, b=−6, c=44입니다. 따라서 a+b+c = −12−6+44 = 26입니다.
1등급 다른 풀이 · 거리 공식 없이 r 구하는 두 가지 길
점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰지 않고도 반지름 r를 얻을 수 있습니다. 두 방법 모두 중학교 도형에서 배운 성질이라 계산이 훨씬 가볍고, 좌표가 지저분한 문제에서 특히 위력을 발휘합니다.
( i ) 넓이를 세 조각으로 쪼개기
내접원의 중심을 M이라 하면, M에서 세 변 OA, OB, AB에 내린 수선의 길이는 모두 r로 같습니다. 즉 삼각형 OAB를 M을 꼭짓점으로 하는 세 삼각형 MOA, MAB, MBO로 쪼개면 각 삼각형의 높이가 전부 r입니다.
(삼각형 OAB의 넓이) = ½×OA×r + ½×AB×r + ½×OB×r 이므로 ½×4×3 = ½×r×(4+5+3), 즉 6r=6에서 r=1입니다. 세 변의 길이만 알면 어떤 삼각형에서도 쓸 수 있는 방법입니다.
( ii ) 외부의 점에서 그은 접선의 길이는 같다
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같습니다. 직각인 꼭짓점 O 쪽의 두 접선 길이는 각각 r이므로, 꼭짓점 A에서 그은 접선의 길이는 4−r, 꼭짓점 B에서 그은 접선의 길이는 3−r이 됩니다.
그런데 이 둘을 합한 것이 빗변 AB의 길이 5이므로 (3−r)+(4−r)=5, 즉 7−2r=5에서 r=1입니다. 방정식 한 줄로 끝나는 가장 빠른 길입니다.
여기서 한 걸음 더 나아가면 (ii)를 일반화한 r = (두 직각변의 합 − 빗변) ÷ 2가 됩니다. r = (3+4−5)÷2 = 1이지요. 3-4-5 직각삼각형의 내접원 반지름이 1이라는 사실은 아예 외워두면 시험장에서 한 단계를 통째로 건너뛸 수 있습니다.
중심을 잡는 방법도 더 빠르게 갈 수 있습니다. 직각을 낀 꼭짓점에서 두 직각변을 따라 각각 r만큼 들어간 점이 내심이므로, 이동 후 삼각형에서 직각인 꼭짓점 O′(5, 2)를 기준으로 x방향 1, y방향 1만큼 옮긴 (6, 3)이 곧 내심입니다. 원래 삼각형으로 되돌아가지 않고 이동한 그림에서 바로 중심을 찍을 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 이동량은 반드시 대응하는 점끼리 빼세요. A(4, 0)과 A′(9, 2)의 차 (5, 2)가 이동 벡터입니다. O′의 좌표를 (9, 2)로 착각하면 이후 계산이 전부 어긋납니다.
- 내접원의 중심을 (r, r)로 놓을 수 있는 근거는 제1사분면에서 두 축에 접한다는 조건입니다. 축에 접하지 않는 배치라면 이 지름길을 쓸 수 없으니, 그림에서 직각변이 축 위에 있는지 먼저 확인하세요.
- |7r−12| = 5r에서 절댓값을 벗길 때 7r−12=5r로만 풀면 r=6이 나옵니다. 이는 내접원이 아니라 방접원의 반지름입니다. 0<r<3(가장 짧은 변보다 작아야 함)이라는 범위 조건을 반드시 명시하고 시작하세요.
- 문제가 요구하는 형태는 표준형이 아니라 일반형 x²+y²+ax+by+c=0입니다. (x−6)²+(y−3)²=1에서 곧바로 a=6, b=3으로 읽으면 부호가 뒤집힙니다. 반드시 전개해서 a=−12, b=−6임을 확인하세요.
- 상수항 c는 36+9−1=44입니다. 반지름의 제곱 1을 빼는 것을 잊고 45로 두는 실수가 잦으니, 전개 후 원의 방정식에 중심 좌표를 대입해 검산해보면 안전합니다.
엄선된 풀이 영상
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