행복한 일등급문제
점의 대칭이동
수직이등분선
종이접기
출제의도
이 문항은 ‘종이를 접는다’는 현실 상황을 직선에 대한 대칭이동으로 번역할 수 있는지를 묻습니다. 종이를 접어 두 점이 겹쳤다는 말은, 접힌 자국이 그 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선이라는 뜻입니다. 이 한 문장을 떠올리는 순간 문제의 절반이 끝납니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 계산이 어려워서가 아니라 조건이 그림으로만 주어지기 때문입니다. 접는 선의 방정식은 문제에 한 글자도 나오지 않으므로 학생이 직접 만들어야 하고, 대칭점을 구할 때도 ‘중점이 직선 위에 있다’와 ‘두 점을 잇는 직선이 접는 선과 수직이다’라는 두 조건을 빠짐없이 세워야 미지수 두 개가 결정됩니다. 조건을 하나만 쓰면 식이 하나뿐이라 답이 나오지 않습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
접었을 때 A와 B가 겹쳤다는 것은, 접는 선을 기준으로 A와 B가 서로 대칭이라는 뜻입니다. 따라서 접는 선은 선분 AB의 수직이등분선입니다.
수직이등분선을 구하려면 두 가지만 있으면 됩니다. 선분 AB의 중점, 그리고 AB의 기울기에 수직인 기울기입니다. 이 직선의 방정식을 먼저 확정해 두세요. 이후의 모든 계산은 이 직선 하나 위에서 이루어집니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
같은 접기이므로 C와 D도 그 직선에 대해 대칭입니다. 점 D(a, b)가 점 C의 대칭점이 되려면 두 조건을 동시에 만족해야 합니다. 첫째, 선분 CD의 중점이 접는 선 위에 있다. 둘째, 선분 CD가 접는 선과 수직이다.
중점을 직선의 방정식에 대입해 a, b에 대한 일차식 하나를 만들고, CD의 기울기가 AB의 기울기와 같다는 사실(둘 다 접는 선에 수직)로 또 하나를 만듭니다. 미지수 두 개에 식 두 개이므로 연립하면 끝입니다.
정답 확인
정답 a + b = −1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A접는 선(수직이등분선)의 방정식 구하기
A(2, −1)과 B(0, 5)가 겹치므로 접는 선은 선분 AB의 수직이등분선입니다. 중점은 ((2+0)/2, (−1+5)/2) = (1, 2)이고, AB의 기울기는 (5−(−1))/(0−2) = −3이므로 수직인 직선의 기울기는 1/3입니다.
점 (1, 2)를 지나고 기울기가 1/3인 직선이므로 y−2 = (1/3)(x−1), 정리하면 x−3y+5=0입니다.
STEP B대칭점이 되기 위한 두 조건 세우기
점 C(−3, −6)의 대칭점을 D(a, b)라 하면 다음 두 식이 성립합니다.
( i ) 중점 조건 — 선분 CD의 중점 ((a−3)/2, (b−6)/2)이 직선 x−3y+5=0 위에 있으므로 (a−3)/2 − 3·(b−6)/2 + 5 = 0, 즉 a−3b+25=0
( ii ) 수직 조건 — 선분 CD는 접는 선과 수직이므로 기울기가 −3입니다. (b−(−6))/(a−(−3)) = −3에서 3a+b+15=0
STEP C연립하여 a+b 구하기
a−3b+25=0에서 a=3b−25이므로 이를 3a+b+15=0에 대입하면 3(3b−25)+b+15=0, 즉 10b−60=0에서 b=6입니다. 다시 a=3·6−25=−7입니다.
따라서 D(−7, 6)이고 a+b = −7+6 = −1입니다.
1등급 다른 풀이 · 수선의 발로 한 번에 잡기
연립방정식을 세우지 않고, 대칭점의 정의를 그대로 밟아가도 계산이 오히려 짧습니다. 점 C에서 접는 선에 내린 수선의 발을 H라 하면, H는 선분 CD의 중점이므로 D = 2H − C가 곧바로 성립합니다.
C(−3, −6)을 지나고 접는 선과 수직인 직선은 기울기가 −3이므로 y+6 = −3(x+3), 즉 y = −3x−15입니다. 이를 x−3y+5=0에 대입하면 x−3(−3x−15)+5=0에서 10x+50=0, 즉 x=−5이고 y=0이므로 H(−5, 0)입니다.
따라서 D = (2·(−5)−(−3), 2·0−(−6)) = (−7, 6)으로 한 번에 나옵니다. 검산도 쉽습니다. 접기는 길이를 보존하므로 DB의 길이는 CA의 길이와 같아야 하는데, DB = √(7²+1²) = 5√2이고 CA = √(5²+5²) = 5√2로 일치합니다.
실수를 줄이는 전략
- 접는 선을 ‘AB에 수직인 직선‘으로만 잡으면 안 됩니다. 반드시 AB의 중점을 지나는 수직이등분선이어야 합니다. 중점을 빠뜨리면 직선이 통째로 달라집니다.
- 수직인 두 직선의 기울기 곱은 −1입니다. −3의 수직은 1/3이지 −1/3이 아닙니다. 부호를 한 번 더 확인하세요.
- 미지수가 a, b 두 개이므로 식도 두 개가 필요합니다. 중점 조건만 쓰고 답을 구하려다 막히는 경우가 가장 많습니다.
- 중점을 대입할 때 분모 2를 그대로 둔 채 전개하면 부호 실수가 잦습니다. 양변에 2를 곱해 정수 계수로 만든 뒤 정리하세요.
- 구한 D의 위치를 그림과 대조하세요. C가 제3사분면에 있고 접는 선이 왼쪽 위로 지나가므로 D는 제2사분면에 있어야 합니다. (−7, 6)은 이 조건에 맞습니다.
엄선된 풀이 영상
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