행복한 일등급문제
최다빈출 · 왕중요 · 내신연계 출제문항 347
직선의 평행이동
점과 직선 사이의 거리
최솟값
출제의도
이 문항은 겉보기에는 평행이동 문제이지만, 실제로는 두 단원을 이어 붙인 문제입니다. 앞부분은 직선을 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 식을 세워 a와 b 사이의 관계식을 뽑아내는 작업이고, 뒷부분은 그 관계식을 만족하는 점 (a, b)에 대해 a²+(b−1)²의 최솟값을 구하는 작업입니다.
핵심은 뒷부분의 번역입니다. a²+(b−1)²이라는 식을 그대로 보면 미지수가 둘인 이차식이라 막막하지만, 이것을 ‘점 (a, b)와 점 (0, 1) 사이 거리의 제곱’으로 읽는 순간 문제는 직선 위를 움직이는 점까지의 최단거리라는 익숙한 그림으로 바뀝니다. 대수식을 좌표평면 위의 거리로 옮겨 읽는 훈련, 그것이 이 문항이 최다빈출로 배치된 이유입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
평행이동한 도형의 방정식은 x 대신 x−a, y 대신 y−b를 대입해서 얻습니다. 이동 방향과 대입하는 부호가 반대라는 점을 먼저 확실히 해두세요. 3x+4y−1=0에 그대로 대입하면 3(x−a)+4(y−b)−1=0이 됩니다.
이 식을 정리해서 x, y에 대한 일차식으로 만든 뒤, 문제에서 준 3x+4y+5=0과 같은 직선이 되도록 계수를 비교하세요. x, y의 계수는 이미 같으니 비교할 것은 상수항 하나뿐입니다. 여기서 a와 b를 묶는 관계식 하나가 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
관계식은 3a+4b+6=0, 즉 점 (a, b)는 직선 3a+4b+6=0 위를 움직인다는 뜻입니다. a, b가 하나로 정해지지 않고 직선 전체를 훑는다는 사실이 최솟값을 묻는 근거입니다.
이제 a²+(b−1)²을 보세요. 이것은 점 (a, b)와 점 (0, 1) 사이 거리의 제곱입니다. 따라서 최솟값은 ‘점 (0, 1)에서 직선 3a+4b+6=0까지의 거리를 구한 뒤 제곱한 값’이 됩니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰되, 마지막에 제곱하는 것을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A평행이동한 직선의 식으로 a, b의 관계식 구하기
직선 3x+4y−1=0을 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b만큼 평행이동하면 x 대신 x−a, y 대신 y−b를 대입하여 3(x−a)+4(y−b)−1=0, 즉 3x+4y−3a−4b−1=0입니다.
이 직선이 3x+4y+5=0과 같으므로 상수항끼리 비교하면 −3a−4b−1=5, 정리하면 3a+4b+6=0입니다.
STEP B식을 거리로 번역하기
점 (a, b)는 직선 3a+4b+6=0 위의 점입니다. 그리고 a²+(b−1)²은 점 (a, b)와 점 (0, 1) 사이 거리의 제곱이므로, 이 값이 최소가 되는 것은 점 (0, 1)에서 직선에 내린 수선의 발일 때입니다.
거리 계산 — 점 (0, 1)에서 직선 3a+4b+6=0까지의 거리는 |3×0+4×1+6| ÷ √(3²+4²) = 10 ÷ 5 = 2
STEP C제곱해서 최솟값 확정
구한 것은 거리이고 문제가 묻는 것은 거리의 제곱이므로 a²+(b−1)²의 최솟값은 2²=4입니다.
1등급 다른 풀이 · 소거해서 이차함수로 보기
기하적 해석이 아직 익숙하지 않다면 관계식으로 문자를 하나 없애 이차함수의 최솟값 문제로 바꿔도 같은 답에 도달합니다.
3a+4b+6=0에서 4b=−3a−6이므로 b−1 = −3a−104 입니다. 이를 대입하면 a²+(b−1)² = a² + (3a+10)²16 = 25a²+60a+10016 이 되고, 완전제곱으로 고치면 25(a + 6/5)² + 6416 입니다.
따라서 a = −6/5일 때 최솟값 64÷16 = 4를 얻습니다. 이때 b = −3/5이고, 점 (−6/5, −3/5)은 실제로 점 (0, 1)에서 직선 3a+4b+6=0에 내린 수선의 발과 정확히 일치합니다. 두 풀이가 같은 점을 서로 다른 언어로 찾아낸 것이지요. 다만 계수가 지저분한 문제에서는 이 방법이 계산량이 훨씬 커지므로, 거리로 읽는 눈을 기본으로 삼는 편이 안전합니다.
실수를 줄이는 전략
- 평행이동은 부호가 반대입니다. x축 방향으로 a만큼 이동인데 대입은 x−a입니다. 3(x+a)+4(y+b)−1=0으로 쓰는 순간 관계식이 3a+4b−6=0으로 바뀌어 답이 달라집니다.
- 계수 비교는 상수항만 하면 됩니다. −3a−4b−1=5를 옮길 때 부호를 놓치기 쉬우니, 양변에 −1을 곱해 3a+4b+6=0으로 깔끔하게 정리한 뒤 다음 단계로 넘어가세요.
- a²+(b−1)²은 거리의 제곱입니다. 거리 2를 그대로 답으로 쓰면 오답입니다. 식에 제곱이 붙어 있는지 마지막에 한 번 더 확인하는 습관을 들이세요.
- 기준점을 (0, 1)로 잡아야 합니다. a²+(b−1)²에서 a는 (a−0)²이므로 중심은 (0, 1)이지 (0, −1)이 아닙니다. 부호를 반대로 잡으면 거리가 |4×(−1)+6|÷5로 바뀌어 최솟값이 4/25가 되어 버립니다.
- 점과 직선 사이의 거리에서 분모는 √(3²+4²)=5입니다. 3-4-5 조합은 이 단원에서 반복해서 등장하니 아예 외워두면 계산이 빨라집니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.