행복한 일등급문제
Ⅰ-04 도형의 이동 · 최다빈출
대응점
직사각형의 성질
대각선의 중점
출제의도
이 문항은 직사각형 OABC를 평행이동한 직사각형 DEFG가 주어졌을 때, 아직 좌표가 밝혀지지 않은 꼭짓점 F(a, b)를 찾는 문제입니다. 핵심은 두 가지입니다. 첫째, 평행이동은 대응점 한 쌍만 알면 완전히 결정된다는 것. 둘째, 사각형의 네 번째 꼭짓점은 대각선의 중점이 일치한다는 성질로 구한다는 것입니다.
최다빈출로 표시된 이유는 두 도구가 모두 이 단원의 뼈대이기 때문입니다. 그림이 기울어져 있어 눈대중으로는 좌표를 읽을 수 없고, 문자 이름의 대응 순서(O↔D, A↔E, B↔F, C↔G)를 정확히 읽어내야만 출발점이 잡힙니다. 그림에 압도되지 않고 대응 관계부터 정리하는 태도를 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 얼마만큼 이동했는지부터 확정하세요. 사각형 OABC와 DEFG는 이름 순서대로 대응하므로 O↔D, A↔E, B↔F, C↔G입니다. 좌표가 둘 다 주어진 대응점은 C(4, 8)과 G(1, 6) 한 쌍뿐입니다.
이 한 쌍에서 이동량이 나옵니다. x좌표는 4에서 1로, y좌표는 8에서 6으로 바뀌었으니 x축 방향으로 −3만큼, y축 방향으로 −2만큼 평행이동한 것입니다. 이제 나머지 점들도 모두 같은 만큼 옮기면 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
이동량을 알았으니 O(0, 0)과 A(6, −3)을 옮겨 D와 E의 좌표를 먼저 확정하세요. 이제 사각형 DEFG에서 D, E, G의 좌표를 알고 F만 모르는 상태가 됩니다.
여기서 사각형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다는 성질을 씁니다. DEFG의 대각선은 DF와 EG이므로, 두 선분의 중점이 서로 일치합니다. 좌표를 아는 E, G로 중점을 먼저 계산해 두고, D와 F(a, b)의 중점이 그 값과 같다는 식을 x성분과 y성분으로 각각 세우면 a, b가 나옵니다. 참고로 이 풀이에는 ‘직각’이라는 조건이 전혀 필요하지 않습니다.
정답 확인
정답 a+b = 10
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A이동량을 정하고 두 점 D, E 구하기
점 C(4, 8)이 점 G(1, 6)으로 옮겨진 것이므로 이 평행이동은 x축의 방향으로 −3만큼, y축의 방향으로 −2만큼입니다. 같은 이동을 나머지 점에 적용하면 원점 O(0, 0)이 옮겨간 점은 D(−3, −2), 점 A(6, −3)이 옮겨간 점은 E(3, −5)입니다.
STEP B대각선의 중점이 일치함을 이용해 a, b 구하기
사각형 DEFG는 직사각형이므로 두 대각선 DF와 EG의 중점이 서로 일치합니다.
( i ) 선분 EG의 중점 — E(3, −5), G(1, 6)이므로 중점 M의 좌표는 3+12=2, −5+62=12, 즉 M(2, 12)입니다.
( ii ) 선분 DF의 중점 — D(−3, −2), F(a, b)이므로 중점은 (−3+a2, −2+b2)입니다.
( iii ) 두 중점을 일치시키기 — −3+a2=2에서 a=7, −2+b2=12에서 b=3입니다.
따라서 점 F의 좌표는 (7, 3)입니다.
STEP Ca+b의 값 계산
a=7, b=3이므로 a+b=10입니다.
1등급 다른 풀이 · 옮기기 전에 B를 먼저 구하기
F는 결국 B가 옮겨간 점이므로, 순서를 바꿔 원래 직사각형에서 B를 먼저 구한 뒤 이동시키는 길도 있습니다. 이쪽이 계산에 분수가 등장하지 않아 더 깔끔합니다.
직사각형 OABC에서도 두 대각선 OB와 AC의 중점은 일치합니다. A(6, −3), C(4, 8)이므로 AC의 중점은 (5, 52)이고, 이것이 O(0, 0)과 B의 중점이므로 B(10, 5)입니다. 좌표만 놓고 보면 B=A+C−O라는 한 줄로 끝나는 계산입니다.
이제 B(10, 5)를 x축의 방향으로 −3, y축의 방향으로 −2만큼 옮기면 F(10−3, 5−2)=F(7, 3)이 곧바로 나옵니다. 두 풀이가 같은 답을 주는 이유는 평행이동이 중점을 중점으로 보내기 때문입니다. 한 풀이로 답을 구한 뒤 다른 풀이로 검산하면 실수 여부를 스스로 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 가장 흔한 실수는 대응 순서를 그림으로 짐작하는 것입니다. 사각형 OABC와 DEFG는 이름의 순서대로 O↔D, A↔E, B↔F, C↔G로 대응합니다. 그림이 기울어져 있어 위치만 보고 짝을 지으면 엉뚱한 점을 이동시키게 됩니다.
- 이동량의 방향과 부호를 조심하세요. C(4, 8)에서 G(1, 6)으로 갔으므로 이동량은 G−C=(−3, −2)입니다. 순서를 뒤집어 (3, 2)로 잡으면 D, E부터 모두 틀립니다.
- 사각형의 네 번째 꼭짓점은 대각선의 중점 일치로 구하는 것이 정석입니다. DEFG에서 대각선은 DF와 EG이지 DE와 FG가 아닙니다. 어느 두 점이 마주 보는 꼭짓점인지 이름 순서로 확인한 뒤 식을 세우세요.
- 이 풀이에 직각 조건은 쓰이지 않습니다. 평행사변형이기만 하면 성립하는 성질이므로, 굳이 기울기의 곱이 −1임을 확인하려고 시간을 쓸 필요가 없습니다.
- 중점 계산에서 분수가 나오면 그대로 두고 양변을 비교하세요. −2+b2=12를 −2+b=1로 정리해 b=3을 얻는 과정에서 부호를 놓치면 b=−1 같은 답이 나옵니다.
엄선된 풀이 영상
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