행복한 일등급문제
Ⅰ-04 도형의 이동
세 직선의 위치 관계
삼각형이 되지 않을 조건
경우 분류
출제의도
이 문항은 직선을 y축 방향으로 평행이동한 뒤, 그 직선을 포함한 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 상수 a를 모두 찾아 더하는 문제입니다. 평행이동 자체는 y 대신 y+3을 대입하는 한 줄로 끝나므로, 난이도는 전적으로 뒷부분의 조건 분류에 놓여 있습니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 계산량이 아니라 분류의 완전성 때문입니다. 세 직선이 삼각형을 이루지 못하는 상황은 두 직선이 평행한 경우, 두 직선이 일치하는 경우, 세 직선이 한 점에서 만나는 경우로 나뉩니다. 문제가 ‘값의 합’을 묻고 있으므로 한 경우라도 빠뜨리면 곧바로 오답이 됩니다. 조건 하나를 놓치는 순간 답이 달라지도록 설계된, 전형적인 완전 분류형 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 평행이동부터 처리하세요. y축의 방향으로 −3만큼 평행이동한다는 것은 방정식의 y 자리에 y−(−3)=y+3을 대입한다는 뜻입니다. 이동한 방향과 대입하는 부호가 반대라는 점을 놓치지 마세요.
이렇게 하면 ax−(y+3)+2=0, 즉 ax−y−1=0이 됩니다. 이제 문제는 ‘세 직선 ax−y−1=0, 2x−y−3=0, x+y−3=0이 삼각형을 이루지 않을 조건’으로 완전히 바뀝니다. 여기서부터가 진짜 시작입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
세 직선이 삼각형을 이루려면 세 개의 교점이 서로 다른 위치에 생겨야 합니다. 그렇지 못한 경우는 ① 두 직선이 평행할 때 ② 두 직선이 일치할 때 ③ 세 직선이 한 점에서 만날 때, 이렇게 세 가지입니다. 세 경우를 먼저 적어두고 하나씩 처리하세요.
평행 조건은 기울기 비교로 끝납니다. ax−y−1=0의 기울기는 a이고, 나머지 두 직선의 기울기는 2와 −1입니다. 한 점에서 만나는 경우는 a와 무관하게 고정된 두 직선 2x−y−3=0, x+y−3=0의 교점을 먼저 구한 뒤 그 점을 ax−y−1=0에 대입하면 됩니다. 마지막으로 구한 a의 값들 중 겹치는 것이 없는지 확인하고 더하세요.
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정답 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A평행이동한 직선의 방정식 구하기
직선 ax−y+2=0을 y축의 방향으로 −3만큼 평행이동하려면 y 대신 y+3을 대입합니다. ax−(y+3)+2=0에서 ax−y−3+2=0, 즉 ax−y−1=0입니다. 이 직선은 a의 값에 관계없이 항상 점 (0, −1)을 지나고, 기울기만 a에 따라 변한다는 점을 기억해 두면 뒤가 편합니다.
STEP B삼각형을 이루지 않을 세 경우 분류
세 직선 ax−y−1=0, 2x−y−3=0, x+y−3=0이 삼각형을 이루지 못하는 경우는 다음과 같습니다.
( i ) 두 직선이 평행한 경우 — ax−y−1=0과 2x−y−3=0이 평행하려면 a=2, ax−y−1=0과 x+y−3=0이 평행하려면 a=−1입니다. (고정된 두 직선 2x−y−3=0과 x+y−3=0은 기울기가 2와 −1로 서로 평행하지 않습니다.)
( ii ) 두 직선이 일치하는 경우 — a=2일 때 2x−y−1=0과 2x−y−3=0은 상수항이 달라 일치하지 않고, a=−1일 때 −x−y−1=0, 즉 x+y+1=0과 x+y−3=0도 일치하지 않습니다. 따라서 일치하는 경우에서 추가로 얻는 a는 없습니다.
( iii ) 세 직선이 한 점에서 만나는 경우 — 2x−y−3=0과 x+y−3=0을 연립하면 x=2, y=1이므로 교점은 (2, 1)입니다. 직선 ax−y−1=0이 이 점을 지나야 하므로 2a−1−1=0에서 a=1입니다.
따라서 조건을 만족시키는 a의 값은 2, −1, 1의 세 개입니다.
STEP Ca의 값의 합 계산
세 값이 서로 겹치지 않으므로 구하는 합은 2+(−1)+1=2입니다.
1등급 다른 풀이 · 회전하는 직선으로 읽기
STEP A에서 얻은 ax−y−1=0을 y=ax−1로 보면, 이 직선은 a가 어떤 값이든 항상 점 (0, −1)을 지나는 직선입니다. 즉 a가 변한다는 것은 점 (0, −1)을 축으로 직선이 회전한다는 뜻이고, 문제는 ‘이 회전하는 직선이 어느 각도에 있을 때 삼각형이 무너지는가’로 바뀝니다.
삼각형이 무너지는 순간은 그림상 딱 세 번입니다. 회전하는 직선이 2x−y−3=0과 나란해질 때(a=2), x+y−3=0과 나란해질 때(a=−1), 그리고 고정된 두 직선의 교점 (2, 1)을 정확히 통과할 때입니다. 마지막 경우는 점 (0, −1)과 점 (2, 1)을 잇는 직선의 기울기이므로 1−(−1)2−0=1, 즉 a=1로 연립방정식을 세우지 않고도 곧바로 나옵니다.
이렇게 보면 세 경우가 왜 정확히 세 개뿐인지도 함께 설명됩니다. 계산으로 답을 얻은 뒤 이 그림을 한 번 떠올려 검산하면, 경우를 빠뜨렸는지 아닌지를 스스로 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 평행이동의 부호가 첫 번째 함정입니다. y축 방향으로 −3만큼 이동하면 y 대신 y+3을 대입합니다. 이동 방향과 대입 부호가 반대라는 것을 기계적으로 기억해 두세요. 여기서 ax−y−5=0으로 잘못 시작하면 이후 계산이 전부 무너집니다.
- 삼각형이 되지 않는 경우는 평행뿐이 아닙니다. 세 직선이 한 점에서 만나는 경우를 빠뜨려 a=1을 놓치면 합이 1이 되어 오답입니다. 조건 세 가지를 먼저 적어두고 시작하는 습관이 가장 확실한 예방책입니다.
- 평행 조건을 찾은 뒤에는 반드시 일치하는지까지 확인하세요. 이 문항에서는 일치하는 경우가 없지만, 일치하면 그 값이 평행 조건에서 나온 값과 겹쳐 중복 계산 위험이 생깁니다.
- a와 무관하게 고정된 두 직선끼리 평행한지도 먼저 점검해야 합니다. 만약 그 둘이 평행했다면 a가 어떤 값이든 삼각형이 만들어지지 않아 문제 자체가 성립하지 않습니다.
- 마지막에 묻는 것이 ‘개수’가 아니라 ‘값의 합’입니다. 중복되는 값이 있으면 한 번만 더해야 하므로, 구한 값들을 나열해 놓고 서로 다른지 확인한 뒤 합을 구하세요.
엄선된 풀이 영상
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