TOUGH
2012년 11월 고1 학력평가 19번
대칭이동의 활용
최단거리
직선 y=x에 대한 대칭
두 직선의 교점
출제의도
한 점 A에서 출발해 직선 l 위의 점 B, 직선 m 위의 점 C를 차례로 지나 다시 A로 돌아오는 닫힌 경로의 길이를 최소로 만드는 문항입니다. 앞 문항(0640번)이 평행이동으로 푸는 최단거리였다면, 이 문제는 정반대로 대칭이동이 열쇠입니다. 두 직선에 각각 한 번씩 부딪히고 돌아오므로, 대칭도 두 번 해야 합니다.
난도를 올리는 장치는 두 가지입니다. 하나는 대칭축이 x축과 직선 y=x로 서로 다른 두 종류라는 점이고, 다른 하나는 묻는 값이 최소 경로의 길이가 아니라 그때의 두 정류소 B, C 사이의 거리라는 점입니다. 발상을 떠올리고도 마지막에 무엇을 구해야 하는지 놓쳐 오답으로 가는 학생이 많아 TOUGH로 배치되었습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 좌표를 세우세요. 두 도로가 만나는 지점 O를 원점, 동서로 뻗은 직선도로 l을 x축으로 잡습니다. 도로 m은 원점을 지나고 x축과 45°를 이루므로 기울기가 tan45° = 1, 즉 y = x입니다. 정류소 A는 O에서 동쪽 3km, 북쪽 1km이므로 A(3, 1)입니다.
이제 경로는 A → B(x축 위) → C(직선 y=x 위) → A입니다. 꺾인 경로의 길이를 다루는 방법은 하나뿐입니다. 꺾인 부분을 펴서 일직선으로 만드는 것이고, 그 도구가 대칭이동입니다. 출발점도 A, 도착점도 A이므로 A를 두 축에 대해 각각 한 번씩, 총 두 번 대칭시켜야 한다는 점에 주의하세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
점 A를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 P, 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점을 Q라 하세요. x축 대칭은 y좌표의 부호만 바꾸고, y=x 대칭은 x좌표와 y좌표를 맞바꿉니다. 그러면 AB = BP, CA = CQ이므로
AB + BC + CA = PB + BC + CQ ≥ PQ
가 되고, 네 점 P, B, C, Q가 한 직선 위에 있을 때 도로의 길이가 최소입니다.
여기서 멈추면 안 됩니다. 문제가 묻는 것은 PQ가 아니라 BC이므로, 직선 PQ의 방정식을 구한 뒤 x축과의 교점 B, 직선 y=x와의 교점 C를 각각 좌표로 구해 두 점 사이의 거리를 계산해야 합니다. 분수 좌표가 나오더라도 당황하지 마세요.
정답 확인
정답 ⑤ BC = 5√56 km
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A좌표평면 설정과 정류소 A의 좌표
지점 O를 원점, 직선도로 l을 x축으로 정합니다. 직선도로 m은 원점을 지나고 기울기가 tan45° = 1이므로 m : y = x입니다. 정류소 A는 O에서 동쪽으로 3km, 북쪽으로 1km 떨어져 있으므로 A(3, 1)입니다.
STEP B두 번의 대칭이동으로 경로 펴기
P — x축에 대한 대칭 : y좌표의 부호만 바꾸므로 P(3, −1)입니다.
Q — 직선 y=x에 대한 대칭 : x좌표와 y좌표를 서로 바꾸므로 Q(1, 3)입니다.
점 B는 x축 위에 있으므로 AB = BP이고, 점 C는 직선 y=x 위에 있으므로 CA = CQ입니다. 따라서
AB + BC + CA = PB + BC + CQ ≥ PQ
이므로 도로의 길이는 두 점 B, C가 두 점 P, Q를 지나는 직선 위에 있을 때 최소가 되고, 그 값은 선분 PQ의 길이와 같습니다.
STEP C직선 PQ의 방정식과 두 교점 구하기
두 점 P(3, −1), Q(1, 3)을 지나는 직선의 기울기는 (−1−3)/(3−1) = −2이므로
y − 3 = −2(x − 1), 즉 y = −2x + 5입니다.
여기에 y = 0을 대입하면 x = 5/2이므로 B(5/2, 0)이고, y = x를 대입하면 x = −2x + 5에서 x = 5/3이므로 C(5/3, 5/3)입니다.
STEP D두 정류소 사이의 거리 BC 계산
BC = √{(5/3 − 5/2)² + (5/3 − 0)²} = √{(−5/6)² + 25/9} = √(25/36 + 100/36) = √(125/36)
따라서 BC = 5√56 (km)이고 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 대칭축이 이루는 각으로 검산하기
계산에 들어가기 전에 그림의 성질 하나를 잡아두면 검산이 공짜로 따라옵니다. 대칭이동은 원점에서의 거리를 바꾸지 않으므로 OP = OQ = OA = √(3²+1²) = √10입니다. 또 두 대칭축인 x축과 직선 y=x가 이루는 각이 45°이므로, 두 번의 대칭으로 생긴 ∠POQ는 그 두 배인 90°입니다.
즉 삼각형 POQ는 O에서 직각인 직각이등변삼각형이고, 최소 도로 길이 PQ = √10 × √2 = 2√5(km)가 좌표 계산 없이 곧바로 나옵니다. 실제로 P(3, −1), Q(1, 3)으로 계산해도 PQ = √(2² + 4²) = 2√5로 일치합니다. 대칭축이 이루는 각의 두 배가 회전각이라는 이 사실은 대칭이동 단원 전체를 관통하는 성질이니 반드시 챙겨두세요.
이 값을 이용하면 BC를 다른 경로로도 구할 수 있습니다. BC = PQ − PB − CQ인데, PB = AB = √5/2이고 CQ = CA = 2√5/3이므로 BC = 2√5 − (√5/2 + 2√5/3) = 2√5 − 7√5/6 = 5√5/6으로 같은 답이 나옵니다. 좌표로 구한 답과 이 방법이 일치하면 계산 실수는 없다고 봐도 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 두 대칭의 규칙을 섞지 마세요. x축 대칭은 y좌표의 부호만 바꾸고, y=x 대칭은 x와 y를 맞바꿉니다. A(3, 1)에서 P(3, −1)과 Q(1, 3)이 나오는데, 이 둘을 뒤집으면 직선의 기울기부터 어긋납니다.
- 출발점과 도착점이 모두 A이므로 대칭은 반드시 두 번입니다. 한 점만 대칭시키고 나머지를 그대로 두면 부등식이 성립하지 않습니다.
- 묻는 것은 최소 도로 길이가 아니라 BC의 길이입니다. PQ = 2√5까지 구하고 답으로 적으면 선택지에 없어 시간을 통째로 날립니다. 문제의 마지막 문장을 다시 읽는 습관을 들이세요.
- 교점을 구할 때 B는 x축과의 교점, C는 직선 y=x와의 교점임을 놓치지 마세요. 두 정류소의 이름을 바꿔 넣으면 좌표가 뒤바뀌어 ③ 2√5/3 같은 오답 선지로 흘러갑니다.
- 분수 좌표의 뺄셈에서 통분을 서두르다 5/3 − 5/2를 +5/6으로 적는 실수가 잦습니다. 부호는 어차피 제곱되어 사라지지만, 통분 자체를 틀리면 √125/36이 나오지 않습니다.
엄선된 풀이 영상
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