TOUGH
최다빈출 · 왕중요
평행이동의 활용
최단거리
두 점 사이의 거리
삼각부등식
출제의도
폭이 20m인 도로를 사이에 두고 학교와 도서관이 있고, 도로에 수직인 횡단보도를 건너 가는 최단거리를 묻는 문항입니다. 최단거리라는 말만 보고 대칭이동을 떠올리면 곧바로 막히는데, 이 문제에서 건너야 하는 20m 구간은 길이도 방향도 이미 고정되어 있기 때문입니다. 대칭이 아니라 평행이동이 열쇠입니다.
이런 유형을 흔히 ‘강 건너기 문제’라고 부릅니다. 경로가 세 토막(학교→횡단보도 입구, 횡단보도, 횡단보도 출구→도서관)으로 끊겨 있을 때, 가운데 고정 구간의 길이만큼 한쪽 점을 미리 옮겨두면 남은 두 토막이 하나로 이어져 두 점을 잇는 선분이 최소가 된다는 구조를 아는지가 전부입니다. 최다빈출·왕중요 표시가 붙은 이유도 계산이 아니라 이 발상 하나 때문입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 좌표평면을 깔아야 합니다. 학교를 원점 A(0, 0)으로 두고 동쪽을 x축의 양의 방향, 북쪽을 y축의 양의 방향으로 잡으세요. 도서관은 동쪽으로 800m, 다시 남쪽으로 620m이므로 B(800, −620)입니다. 도로는 x축과 나란한 폭 20m의 띠입니다.
핵심 관찰은 이것입니다. 횡단보도는 도로에 수직이므로 길이 20m, 방향은 남북으로 고정입니다. 즉 어디에 놓이든 경로 중 20m는 무조건 세로로 소비됩니다. 그렇다면 이 20m를 경로에서 미리 떼어내고, 남은 두 구간을 하나로 이어 붙일 방법을 생각해 보세요. 대칭이동이 아니라 평행이동입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
학교 A를 y축 방향으로 −20만큼 평행이동한 점을 A′라 하면 A′(0, −20)입니다. 횡단보도의 양 끝점을 C, C′(C가 위쪽, C′가 아래쪽)라 하면 AA′와 CC′는 길이도 방향도 같으므로 AC = A′C′가 성립합니다. 이 한 줄이 문제 전체를 결정합니다.
따라서 총 이동거리 AC + CC′ + C′B를 A′C′ + AA′ + C′B로 바꿔 쓰고, 여기에 삼각부등식을 적용하세요. 세 점 A′, C′, B가 한 직선 위에 있을 때 최솟값을 가집니다. 그러면 답은 AA′ + A′B 꼴이 되고, 남은 일은 두 점 사이의 거리 공식을 한 번 쓰는 것뿐입니다. 계산할 때 800과 600이라는 숫자가 보이면 잠깐 멈춰 보세요.
정답 확인
정답 1020 m
상세 해설
아래 해설 이미지에는 0640번 풀이와 함께 이 유형을 그대로 변형한 내신연계 출제문항 338·339번의 풀이도 이어져 있습니다. 같은 발상을 두 번 더 확인해 두면 시험장에서 흔들리지 않습니다.
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A그림을 좌표평면 위에 옮기기
학교를 원점으로 잡아 A(0, 0)이라 하고, 동쪽을 x축의 양의 방향, 북쪽을 y축의 양의 방향으로 둡니다. 도서관은 학교에서 정동쪽으로 800m, 그 지점에서 정남쪽으로 620m 떨어져 있으므로 B(800, −620)입니다. 도로는 x축과 평행한 폭 20m의 띠이고, 횡단보도는 그 띠를 수직으로 가로지르는 길이 20m의 선분입니다.
STEP B학교를 20m 평행이동해 횡단보도를 지우기
횡단보도가 20m이고 도서관이 제4사분면 쪽(남쪽)에 있으므로, 점 A를 y축의 방향으로 −20만큼 평행이동한 점을 A′라 하면 A′(0, −20)입니다.
횡단보도의 양 끝점을 C, C′라 하면 AA′와 CC′는 방향과 길이가 같으므로 사각형 AA′C′C는 평행사변형이고, 따라서 AA′ = CC′, AC = A′C′입니다. 그러므로
AC + CC′ + C′B = A′C′ + AA′ + C′B ≥ AA′ + A′B
가 되고, 점 C′가 두 점 A′, B를 지나는 직선 위에 놓일 때 등호가 성립합니다.
STEP C최단거리 계산하기
구하는 최단거리는 AA′ + A′B이므로
AA′ — 횡단보도의 길이 그대로 20입니다.
A′B — A′(0, −20), B(800, −620)이므로 A′B = √{(800−0)² + (−620−(−20))²} = √(800² + 600²) = 1000입니다.
따라서 학교와 도서관 사이의 최단거리는 20 + 1000 = 1020m입니다.
1등급 다른 풀이 · 도서관을 옮겨도 되고, 계산은 3:4:5로
평행이동시킬 대상은 학교가 아니어도 됩니다. 도서관 B를 y축의 방향으로 +20만큼 올려 B′(800, −600)으로 두면, 도로 폭을 0으로 납작하게 눌러버린 그림이 됩니다. 이때 AB′ = √(800² + 600²) = 1000이고 여기에 횡단보도 20m를 더해 1020m로 똑같이 나옵니다. 어느 쪽을 옮기든 결과가 같다는 사실을 알아두면, 시험장에서 그림이 뒤집혀 나와도 부호 때문에 헤매지 않습니다.
계산에서도 한 박자 줄일 수 있습니다. 800과 600은 3:4:5 직각삼각형의 200배이므로 빗변은 200 × 5 = 1000입니다. 640000 + 360000 = 1000000을 적고 제곱근을 씌우는 과정 없이 바로 적을 수 있습니다. 300:400:500, 600:800:1000, 60:80:100처럼 자주 나오는 배수는 눈에 익혀두세요.
한 가지 더, 왜 ‘직선일 때 최소’인가는 삼각부등식 그 자체입니다. 두 점을 잇는 가장 짧은 길은 선분이므로, A′에서 B로 가는 경로가 C′를 거치더라도 A′C′ + C′B ≥ A′B이고 등호는 C′가 선분 A′B 위에 있을 때뿐입니다.
실수를 줄이는 전략
- 최단거리라고 해서 무조건 대칭이동을 꺼내지 마세요. 강·도로처럼 폭이 있고 건너는 방향이 고정된 구간이 있으면 평행이동, 거울처럼 한 직선 위의 한 점을 찍고 되돌아오면 대칭이동입니다.
- 평행이동의 부호가 이 문제의 유일한 함정입니다. 도서관이 남쪽(제4사분면 방향)에 있으므로 학교는 −20만큼 내려야 합니다. +20으로 올리면 √(800² + 640²)이 되어 정수로 떨어지지 않습니다. 답이 지저분하면 부호부터 의심하세요.
- 마지막에 20을 더하는 것을 잊지 마세요. 1000은 A′B의 길이일 뿐이고, 실제로 사람은 횡단보도 20m도 걸어야 합니다. 1000m로 답하는 실수가 가장 많습니다.
- 좌표를 잡을 때 학교를 원점으로 두는 것이 가장 편합니다. 도로 경계선을 원점 기준으로 잡으면 미지수가 하나 늘어나고 식이 길어집니다.
- 이 문항은 객관식이 아니라 답을 직접 쓰는 형태이므로 단위 m까지 확인하세요. 내신연계 339번처럼 폭이 10m로 바뀌면 답의 구조는 그대로이고 더하는 상수만 달라집니다.
엄선된 풀이 영상
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