TOUGH
최대빈출 · 왕중요
대칭이동
최단거리
내분점
좌표평면으로 옮기기
출제의도
이 문항은 좌표가 하나도 주어지지 않은 순수 도형 문제를 스스로 좌표평면 위로 옮기는 능력을 묻습니다. 한 변의 길이가 20인 정사각형이라는 조건만으로 각 꼭짓점의 좌표를 정하고, 내분점·중점 공식으로 E와 F의 좌표를 만들어낸 뒤에야 비로소 대칭이동을 쓸 수 있습니다. 이 첫 단추를 어디에 끼우느냐가 계산량을 결정합니다.
본론은 대칭이동을 두 번 쓰는 최단거리입니다. 경로 F → P → Q → E에서 꺾이는 점이 두 개(P는 변 BC 위, Q는 변 CD 위)이므로, 각각이 놓인 직선에 대해 서로 다른 점을 서로 다른 축으로 대칭이동해야 합니다. 어느 점을 어느 변에 대해 대칭시킬지 판단하는 것이 이 문제의 핵심이고, 마플이 왕중요 표시를 붙인 이유이기도 합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 좌표를 잡으세요. 점 B가 원점이 되도록 놓으면 A(0, 20), B(0, 0), C(20, 0), D(20, 20)이 되어 변 BC가 x축, 변 CD가 직선 x=20 위에 놓입니다. 대칭이동해야 할 두 변이 각각 좌표축과 수직선이 되므로 계산이 가장 간단해집니다.
이제 E와 F를 구합니다. 대각선 BD를 3:1로 내분하는 점이 E, 중점이 F입니다. B(0, 0), D(20, 20)이므로 내분점 공식으로 E를, 중점 공식으로 F를 계산해 보세요. 두 점 모두 대각선 y=x 위에 놓인다는 점도 확인할 수 있습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
구해야 할 것은 FP+PQ+QE의 최솟값입니다. 꺾이는 점은 P와 Q 두 개이고, P는 변 BC(x축) 위, Q는 변 CD(직선 x=20) 위를 움직입니다. 따라서 P 쪽 끝점인 F는 x축에 대하여, Q 쪽 끝점인 E는 직선 x=20에 대하여 대칭이동합니다.
대칭이동한 두 점을 F′, E′이라 하면 FP=F′P, QE=QE′이므로 세 선분의 합은 F′ → P → Q → E′이라는 경로의 길이가 됩니다. 이 값은 네 점이 한 직선 위에 있을 때 최소가 되고, 그 최솟값은 선분 F′E′의 길이입니다. 마지막은 두 점 사이의 거리 공식 한 번이면 끝납니다.
정답 확인
정답 ⑤ FP+PQ+QE의 최솟값 = 5√34 cm
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A그림을 좌표평면으로 옮겨 각 점의 좌표 구하기
점 B가 원점이 되도록 정사각형을 좌표평면에 옮기면 A(0, 20), B(0, 0), C(20, 0), D(20, 20)입니다.
점 E — 두 점 B(0, 0), D(20, 20)을 3:1로 내분하는 점이므로 x좌표는 (3×20+1×0)/4=15, y좌표도 같은 방식으로 15입니다. 즉 E(15, 15).
점 F — 두 점 B(0, 0), D(20, 20)의 중점이므로 F(10, 10)입니다.
두 점 모두 대각선 BD, 즉 직선 y=x 위에 있고 E가 D쪽에 더 가깝습니다. 그림과 위치가 맞는지 여기서 한 번 확인하고 넘어가세요.
STEP B두 번의 대칭이동으로 경로 펴기
점 P는 변 BC, 즉 x축 위를 움직이므로 점 F를 x축에 대하여 대칭이동하여 F′(10, −10)을 얻습니다. 점 Q는 변 CD, 즉 직선 x=20 위를 움직이므로 점 E를 직선 x=20에 대하여 대칭이동하여 E′(25, 15)를 얻습니다. (x좌표가 20에서 5만큼 왼쪽에 있었으므로 오른쪽으로 5만큼 간 25가 됩니다.)
이때 FP=F′P, QE=QE′이므로
FP+PQ+QE = F′P+PQ+QE′ ≥ F′E′
이고, 등호는 네 점 F′, P, Q, E′이 한 직선 위에 있을 때 성립합니다.
STEP C최솟값 F′E′ 계산하기
두 점 F′(10, −10), E′(25, 15) 사이의 거리를 구하면
F′E′ = √{(25−10)² + (15−(−10))²} = √(15² + 25²) = √(225+625) = √850 = 5√34
따라서 FP+PQ+QE의 최솟값은 5√34 cm입니다.
1등급 다른 풀이 · P, Q가 변 위에 실제로 존재하는지 확인하기
대칭이동 최단거리 문제에서 등호가 성립하려면 P와 Q가 실제로 변 위(선분 안)에 놓여야 합니다. 선분 F′E′이 정사각형 바깥으로 빠져나가면 최솟값을 그대로 쓸 수 없기 때문에, 1등급을 노린다면 이 확인까지가 풀이입니다.
직선 F′E′의 기울기는 (15−(−10))/(25−10) = 25/15 = 5/3이므로 방정식은 y = 53(x−10) − 10입니다.
y=0을 넣으면 x=16이므로 P(16, 0)이고, 0 ≤ 16 ≤ 20이므로 변 BC 위에 있습니다. x=20을 넣으면 y = (5/3)×10 − 10 = 203이므로 Q(20, 203)이고, 이 역시 0과 20 사이이므로 변 CD 위에 있습니다. 두 점 모두 변 안쪽에 들어오므로 최솟값 5√34는 실제로 도달 가능합니다.
덧붙여, 좌표를 어디에 잡든 답은 같습니다. 예를 들어 A를 원점으로 두어도 되지만, 그러면 두 대칭축이 y=−20, x=20처럼 지저분해집니다. 대칭이동할 두 변을 x축과 수직선으로 만드는 배치가 언제나 가장 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 대칭축은 움직이는 점이 놓인 변입니다. P가 BC 위에 있으니 F를 BC에 대해, Q가 CD 위에 있으니 E를 CD에 대해 대칭이동합니다. 두 점을 같은 축에 대칭시키거나 짝을 바꿔 넣는 실수가 가장 많습니다.
- 내분 방향을 확인하세요. 대각선 BD를 3:1로 내분하는 점이므로 B에서 출발해 D쪽에 가까운 E(15, 15)입니다. 방향을 뒤집으면 E(5, 5)가 되어 F보다 안쪽에 놓이고, 그림과 어긋납니다.
- 직선 x=20에 대한 대칭이동은 x좌표만 40−x로 바뀝니다. y축 대칭처럼 부호만 바꿔 E′(−15, 15)로 두면 완전히 다른 답이 나옵니다.
- 좌표는 B를 원점으로 두는 것이 정석입니다. 변 BC가 x축, 변 CD가 x=20이 되어 두 번의 대칭이동이 모두 한 줄로 끝납니다.
- √850을 반드시 5√34로 정리하세요. 선택지에는 2√32, 4√32처럼 정리되지 않은 형태의 함정이 섞여 있어, 근호 안을 끝까지 소인수분해하지 않으면 엉뚱한 것을 고르게 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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