TOUGH
2017년 11월 고1 학력평가 16번
직선 y=x에 대한 대칭이동
최단거리
두 점을 지나는 직선
두 점 사이의 거리
출제의도
이 문항은 직선 y=x에 대한 대칭이동을 이용한 최단거리 문제입니다. 최소화해야 할 식이 AP+PB+BQ+QC로 네 항이나 되어 처음 보면 복잡해 보이지만, 핵심은 이 식이 두 덩어리로 깨끗하게 갈라진다는 것을 알아채는 데 있습니다.
가운데 있는 점 B(0, 2)가 고정된 점이라는 사실이 열쇠입니다. 덕분에 (AP+PB)와 (BQ+QC)는 서로 영향을 주지 않는 독립적인 두 개의 최단거리 문제가 됩니다. 각각을 y=x 대칭이동으로 펴서 P와 Q를 따로 구한 뒤, 마지막에 두 점 사이의 거리만 계산하면 끝납니다. 긴 식을 보고 분해할 수 있는가를 묻는 문항인 셈입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
식을 (AP+PB) + (BQ+QC)로 묶어 보세요. 앞 덩어리에는 P만, 뒤 덩어리에는 Q만 들어 있고 A, B, C는 모두 고정된 점입니다. 즉 두 개의 독립된 최단거리 문제이므로 각각 따로 최소로 만들면 전체도 최소가 됩니다.
P와 Q는 모두 직선 y=x 위를 움직이므로, 꺾이는 점이 놓인 직선인 y=x에 대하여 고정점을 대칭이동합니다. y=x에 대한 대칭이동은 x좌표와 y좌표를 서로 바꾸는 것이므로 A(0, 1)→A′(1, 0), B(0, 2)→B′(2, 0)입니다. 어느 항에 어느 점을 대칭시켜야 하는지 정리해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AP=A′P이므로 AP+PB=A′P+PB ≥ A′B이고, 등호는 P가 두 점 A′(1, 0), B(0, 2)를 지나는 직선 위에 있을 때 성립합니다. 같은 방식으로 BQ=B′Q이므로 BQ+QC ≥ B′C이고, 등호는 Q가 두 점 B′(2, 0), C(0, 4)를 지나는 직선 위에 있을 때 성립합니다.
이제 두 직선의 방정식을 각각 세우고, y=x와 연립하여 P, Q의 좌표를 구하세요. 두 점 모두 y=x 위의 점이라는 점을 이용하면 마지막 거리 계산이 아주 짧아집니다.
정답 확인
정답 ② PQ = 2√23
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ay=x에 대한 대칭이동으로 경로 펴기
두 점 A(0, 1), B(0, 2)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점을 각각 A′, B′이라 하면 x좌표와 y좌표가 바뀌므로 A′(1, 0), B′(2, 0)입니다. 점 P, Q가 직선 y=x 위의 점이므로 AP=A′P, BQ=B′Q가 성립하고,
AP+PB+BQ+QC = A′P+PB+B′Q+QC ≥ A′B + B′C
입니다. 즉 P가 두 점 A′, B를 지나는 직선 위에 있고, Q가 두 점 B′, C를 지나는 직선 위에 있을 때 최소가 됩니다.
STEP B두 직선의 방정식과 점 P, Q의 좌표
점 P — 두 점 A′(1, 0), B(0, 2)를 지나는 직선은 기울기가 (2−0)/(0−1)=−2이므로 y=−2x+2입니다. y=x와 연립하면 x=−2x+2에서 3x=2이므로 P(23, 23)입니다.
점 Q — 두 점 B′(2, 0), C(0, 4)를 지나는 직선은 기울기가 (4−0)/(0−2)=−2이므로 y=−2x+4입니다. y=x와 연립하면 x=−2x+4에서 3x=4이므로 Q(43, 43)입니다.
STEP C선분 PQ의 길이 구하기
두 점 사이의 거리 공식을 쓰면
PQ = √{(4/3 − 2/3)² + (4/3 − 2/3)²} = √(4/9 + 4/9) = √(8/9) = 2√23
입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 직선이 평행하다는 관찰
STEP B에서 구한 두 직선 y=−2x+2와 y=−2x+4는 기울기가 똑같이 −2입니다. 우연이 아닙니다. B′(2, 0), C(0, 4)는 각각 A′(1, 0), B(0, 2)를 원점에 대해 2배로 늘린 점이라 두 직선이 닮은 위치에 놓이기 때문입니다.
이 구조를 일반화하면 계산이 한 줄로 끝납니다. 두 점 (k, 0), (0, 2k)를 지나는 직선은 y=−2x+2k이고, 이를 y=x와 연립하면 x=2k3입니다. k=1이면 P의 x좌표가 2/3, k=2이면 Q의 x좌표가 4/3이므로 두 x좌표의 차는 2/3입니다.
여기에 P와 Q가 모두 직선 y=x 위의 점이라는 사실을 쓰면 거리 공식을 펼칠 필요조차 없습니다. y=x 위의 두 점 사이의 거리는 언제나 x좌표 차이의 √2배이므로
PQ = √2 × 23 = 2√23
가 즉시 나옵니다. 시험장에서는 이 한 줄이 30초를 아껴 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- 가장 흔한 실수는 식을 통째로 최소화하려는 것입니다. B가 고정점이라 (AP+PB)와 (BQ+QC)가 완전히 분리된다는 점을 먼저 확인하고 시작하세요. 만약 B도 움직이는 점이었다면 이 분리는 성립하지 않습니다.
- 대칭이동할 점은 각 덩어리의 양 끝 중 하나입니다. 앞 덩어리 A→P→B에서는 A를, 뒤 덩어리 B→Q→C에서는 B를 대칭이동합니다. 같은 점 B가 한쪽에서는 그대로, 다른 쪽에서는 B′로 쓰인다는 점이 헷갈리는 지점입니다.
- y=x 대칭이동은 x좌표와 y좌표를 맞바꾸는 것입니다. 부호를 바꾸는 x축·y축 대칭과 섞이면 A′(−1, 0) 같은 엉뚱한 점이 나옵니다.
- P는 직선 A′B 위, Q는 직선 B′C 위입니다. 이 대응을 교차해서 섞으면 좌표가 뒤바뀌어 오답 ③ 5√2/6 쪽으로 흘러갑니다. 그림에 A′, B′을 직접 찍어두면 헷갈리지 않습니다.
- 마지막에 √(8/9)을 그대로 두지 말고 2√2/3으로 정리하세요. 선택지가 모두 √2 꼴로 정리되어 있어, 정리하지 않으면 답을 찾지 못합니다.
엄선된 풀이 영상
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