TOUGH
2019년 03월 고2 학력평가 나형 16번
y축에 대한 대칭이동
점의 평행이동
두 직선의 수직 조건
근과 계수의 관계
출제의도
이 문항은 점의 이동 → 기울기 → 수직 조건 → 이차방정식으로 이어지는 네 칸짜리 사슬을 정확히 연결할 수 있는지를 묻습니다. 계산 자체는 어렵지 않지만, 이동 후의 점과 이동 전의 점이 한 문제 안에 섞여 등장하기 때문에 어느 점이 어디에 쓰이는지를 놓치기 쉽습니다.
특히 마지막 조건인 “직선 BP와 직선 PQ가 수직”에서 B는 이동하지 않은 원래 점이라는 사실이 핵심입니다. B를 옮긴 점이 Q이므로, 무심코 직선 QP와 PQ를 같은 것으로 읽으면 문제가 성립하지 않습니다. 또한 마지막에 묻는 것이 k의 값이 아니라 모든 k의 곱이므로, 근과 계수의 관계를 쓰면 근을 구하지 않고도 답이 나옵니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 두 이동을 정확히 구분하세요. y축에 대한 대칭이동은 x좌표의 부호만 바뀌는 이동이므로 A(−3, 1)의 상은 곧바로 구해집니다. y축의 방향으로 −5만큼 평행이동은 y좌표에 −5를 더하는 이동이므로 B(1, k)의 상은 x좌표가 그대로입니다.
그다음 문제가 요구하는 두 직선의 이름을 다시 읽으세요. 하나는 BP, 다른 하나는 PQ입니다. 즉 이동 전의 점 B와 이동 후의 점 P, 그리고 이동 후의 두 점 P와 Q가 각각 짝을 이룹니다. 좌표를 구한 뒤 두 직선의 기울기를 k에 대한 식으로 나타내는 것이 다음 목표입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 지나는 직선의 기울기는 (y₂−y₁)/(x₂−x₁)입니다. B와 P는 x좌표가 각각 1과 3, P와 Q는 3과 1이므로 분모가 0이 되는 경우는 없습니다. 두 기울기를 k에 대한 분수식으로 각각 정리하세요.
두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1입니다. 이 식을 정리하면 분모의 2가 두 번 곱해져 4가 되고, 양변에 4를 곱하면 k에 대한 이차방정식이 깔끔하게 나옵니다. 마지막으로 묻는 것은 두 근의 곱이므로, 굳이 인수분해해 근을 구하지 않아도 (상수항)/(이차항의 계수)로 바로 읽어낼 수 있습니다.
정답 확인
정답 ② 모든 실수 k의 값의 곱 = 10
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 점 P, Q의 좌표 구하기
점 A(−3, 1)을 y축에 대하여 대칭이동하면 x좌표의 부호가 바뀌므로 P(3, 1)입니다.
점 B(1, k)를 y축의 방향으로 −5만큼 평행이동하면 y좌표에 −5를 더하므로 Q(1, k−5)입니다. 이때 B(1, k)는 그대로 남아 이후 직선 BP에 쓰입니다.
STEP B두 직선의 기울기를 k로 나타내기
직선 BP — 두 점 B(1, k), P(3, 1)을 지나므로 기울기는 (1−k)/(3−1) = −(k−1)/2입니다.
직선 PQ — 두 점 P(3, 1), Q(1, k−5)를 지나므로 기울기는 {(k−5)−1}/(1−3) = (k−6)/(−2) = −(k−6)/2입니다.
STEP C수직 조건으로 k의 이차방정식 세우기
두 직선이 수직이므로 기울기의 곱이 −1입니다.
{−(k−1)/2} × {−(k−6)/2} = −1 ⟹ (k−1)(k−6) = −4
좌변을 전개하면 k²−7k+6 = −4이므로 k²−7k+10 = 0이고, 인수분해하면 (k−2)(k−5)=0에서 k=2 또는 k=5입니다.
STEP D모든 실수 k의 값의 곱 구하기
구하는 값은 두 근의 곱이므로 2 × 5 = 10입니다. 이차방정식 k²−7k+10=0에서 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 10/1 = 10으로 근을 구하지 않고도 바로 확인됩니다.
1등급 다른 풀이 · 기울기 대신 ‘두 벡터의 수직’으로 보기
기울기의 곱을 −1로 놓는 방식은 분모가 0이 되는 경우를 항상 따로 점검해야 한다는 부담이 있습니다. 이 문제에서는 다행히 그런 경우가 없지만, 좌표가 문자로 주어진 변형 문항에서는 여기서 감점이 자주 나옵니다.
대안은 방향을 성분으로 다루는 것입니다. B(1, k)에서 P(3, 1)로 가는 방향은 (3−1, 1−k) = (2, 1−k)이고, P(3, 1)에서 Q(1, k−5)로 가는 방향은 (1−3, k−5−1) = (−2, k−6)입니다. 두 방향이 수직이면 대응하는 성분의 곱의 합이 0이므로
2×(−2) + (1−k)(k−6) = 0 ⟹ (k−1)(k−6) = −4
로 앞의 식과 정확히 같은 결과를 얻습니다. 분수도 없고 분모 조건도 없어 계산이 훨씬 안전합니다.
또 하나 확인해 둘 것은 실근이 실제로 존재하는가입니다. k²−7k+10=0의 판별식은 49−40=9>0이므로 서로 다른 두 실근이 존재합니다. “모든 실수 k”라는 표현이 나오면 근의 개수를 한 번 점검하는 습관이 안전합니다.
실수를 줄이는 전략
- y축 대칭은 x좌표의 부호가 바뀝니다. x축 대칭(y좌표 부호 반전)과 헷갈려 P를 (−3, −1)로 잡으면 이후 전부 어긋납니다. “대칭축이 y축이면 y좌표는 그대로”로 기억하세요.
- y축의 방향으로 −5만큼 평행이동은 y좌표에 −5를 더하는 것입니다. x좌표는 건드리지 않으므로 Q의 x좌표는 여전히 1입니다.
- 문제는 직선 BP라고 했지 AP나 QP라고 하지 않았습니다. 이동 전의 B와 이동 후의 P가 짝이라는 점이 이 문항의 함정입니다. 그림에 B와 Q를 다른 색으로 찍어두면 실수가 줄어듭니다.
- 기울기 계산에서 분모의 부호를 주의하세요. 직선 PQ는 1−3=−2가 분모이므로 앞에 음수가 하나 더 붙습니다. 이 부호를 흘리면 (k−1)(k−6)=4가 되어 실근이 다른 값으로 나옵니다.
- 묻는 것은 k의 합이 아니라 곱입니다. 합은 7이라 선택지에 없지만, 곱과 합을 바꿔 읽는 순간 근과 계수의 관계에서 엉뚱한 값을 집게 됩니다.
- 두 근을 각각 구했다면 둘 다 조건을 만족하는지 가볍게 확인하세요. 이 문항에서는 k=2, k=5 모두 유효하므로 하나만 답으로 쓰면 안 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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