TOUGH
최다빈출 · 왕중요
직선 y=x에 대한 대칭이동
원의 방정식 표준형
두 원 위의 두 점 사이의 거리
최댓값
출제의도
이 문항은 세 가지 기본기를 한 줄로 꿰는 문제입니다. 첫째 일반형으로 주어진 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심과 반지름을 읽어내는 것, 둘째 직선 y=x에 대한 대칭이동을 원 전체가 아니라 중심 하나에만 적용하면 된다는 것을 아는 것, 셋째 서로 다른 두 원 위를 각각 움직이는 두 점 사이 거리의 최댓값 구조를 이해하는 것입니다.
최다빈출·왕중요 표시가 붙은 이유는 이 세 요소가 시험에서 계속 재조합되기 때문입니다. 특히 세 번째, (중심 사이의 거리) + (두 반지름의 합)이라는 결론은 외우는 공식이 아니라 그림에서 곧바로 보이는 사실이어야 합니다. 두 점이 각각 중심을 잇는 선분의 연장선 위, 서로 가장 먼 쪽 끝에 놓일 때 거리가 최대가 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 C₁: x²+y²−4x+2y+3=0을 완전제곱꼴로 바꾸세요. x에 대해 −4x, y에 대해 +2y이므로 각각 (x−2)², (y+1)² 형태가 나오고, 넘어간 상수를 정리하면 우변이 남습니다. 이때 우변은 r²이지 r이 아니라는 점을 반드시 의식하세요.
다음으로 대칭이동입니다. 원을 통째로 뒤집는 대신, 대칭이동으로 도형의 크기는 변하지 않는다는 사실을 쓰세요. 반지름은 그대로이므로 중심만 y=x에 대하여 옮기면 C₂가 완성됩니다. 직선 y=x에 대한 대칭은 x좌표와 y좌표를 맞바꾸는 이동입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
두 원의 중심을 구했다면 그림을 간단히 그려보세요. 점 P는 C₁ 위를, 점 Q는 C₂ 위를 자유롭게 움직입니다. 두 중심을 O₁, O₂라 하면 삼각부등식에 의해 항상 PQ ≤ PO₁ + O₁O₂ + O₂Q이고, PO₁과 O₂Q는 각각 반지름으로 고정되어 있습니다.
등호는 P, O₁, O₂, Q가 이 순서대로 한 직선 위에 놓일 때 성립합니다. 즉 최댓값은 (중심 사이의 거리) + (반지름 두 개의 합)입니다. 두 중심 사이의 거리를 거리 공식으로 구한 뒤, 반지름을 한 번이 아니라 두 번 더한다는 점을 잊지 마세요. 마지막에 √18을 √2의 배수로 정리하면 답과 같은 꼴이 됩니다.
정답 확인
정답 ④ 5√2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A원 C₁의 중심과 반지름 구하기
x²+y²−4x+2y+3=0을 x, y에 대해 각각 묶어 완전제곱하면 (x−2)²−4 + (y+1)²−1 + 3 = 0, 즉 (x−2)²+(y+1)²=2입니다.
따라서 원 C₁의 중심은 (2, −1), 반지름의 길이는 √2입니다.
STEP By=x에 대하여 대칭이동한 원 C₂ 구하기
대칭이동은 도형의 모양과 크기를 바꾸지 않으므로 반지름은 그대로 √2입니다. 중심 (2, −1)을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 x좌표와 y좌표가 맞바뀌어 (−1, 2)가 됩니다.
따라서 C₂ : (x+1)²+(y−2)²=2입니다.
STEP C두 중심 사이의 거리 구하기
두 중심 (2, −1)과 (−1, 2) 사이의 거리는
√{(−1−2)² + (2+1)²} = √(9+9) = √18 = 3√2
입니다. 이 값이 반지름의 합 2√2보다 크므로 두 원은 서로 만나지 않고 떨어져 있습니다. 그림에서 두 원이 분리되어 있음을 확인해 두면 다음 단계의 구조가 그대로 보입니다.
STEP DPQ의 최댓값 계산
구조 — P는 C₁ 위, Q는 C₂ 위의 임의의 점이므로 PQ가 최대가 되는 것은 두 중심을 잇는 직선 위에서 P와 Q가 서로 바깥쪽 끝에 놓일 때입니다.
따라서 최댓값은 (두 중심 사이의 거리) + (두 반지름의 합) = 3√2 + (√2 + √2) = 3√2 + 2√2 = 5√2입니다.
1등급 다른 풀이 · 식을 통째로 뒤집고, 최솟값까지 챙기기
중심만 옮기는 방법이 가장 빠르지만, 대칭이동의 원리 자체를 확인하고 싶다면 식 전체에 x와 y를 맞바꿔 대입해도 됩니다. C₁의 식에서 x 자리에 y를, y 자리에 x를 넣으면 y²+x²−4y+2x+3=0, 즉 x²+y²+2x−4y+3=0이고, 이를 완전제곱하면 (x+1)²+(y−2)²=2로 같은 결과가 나옵니다. 중심을 옮기는 방식이 왜 성립하는지 한 번쯤 이렇게 확인해 두면 좋습니다.
또 하나, 같은 그림에서 최솟값도 공짜로 얻을 수 있습니다. 두 원이 떨어져 있으므로 PQ의 최솟값은 (중심 사이의 거리) − (반지름의 합) = 3√2 − 2√2 = √2입니다. 이 값이 양수라는 사실 자체가 “두 원은 만나지 않는다”의 확인이기도 합니다. 만약 중심거리가 반지름의 합보다 작아 두 원이 겹친다면 최솟값은 0이 되고 최댓값 공식은 그대로 유효합니다. 최댓값과 최솟값을 세트로 정리해 두면 변형 문항에서 흔들리지 않습니다.
실수를 줄이는 전략
- 완전제곱 후 우변에 남는 값은 r²입니다. 여기서 우변이 2이므로 반지름은 2가 아니라 √2입니다. 이 한 글자를 놓치면 답이 3√2+4가 되어 선택지에서 헤매게 됩니다.
- 직선 y=x에 대한 대칭은 (a, b) → (b, a), 즉 좌표를 맞바꾸는 이동입니다. 부호를 바꾸는 것은 원점 대칭이니 혼동하지 마세요. (2, −1) → (−1, 2)입니다.
- 반지름은 두 번 더합니다. P 쪽에서 한 번, Q 쪽에서 한 번입니다. 한 번만 더하면 3√2+√2=4√2가 되어 ①번 함정에 걸립니다.
- √18을 그대로 두지 말고 3√2로 정리한 뒤 더하세요. 근호 안이 다르면 항끼리 더할 수 없어 계산이 막힙니다.
- “임의의 점 P, Q”라는 표현은 두 점이 독립적으로 움직인다는 뜻입니다. 두 점을 연동시켜 특정 위치로 고정해 놓고 풀면 최댓값이 아니라 한 경우의 값만 얻게 됩니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.